新课程能力培养九年级数学北师大版
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4. 育光中学为美化校园，准备在东西长32 m、南北宽20 m的长方形土地上，修筑分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面积为540 m²。
(1) 请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）。
(2) 如果设道路的宽为x m，列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值。
答案：(1) 方案一：两条道路分别与长方形土地的边平行（常见方案）。草图：长方形土地ABCD，东西方向道路EF，南北方向道路GH，EF与GH相交，将土地分成四块。优点是设计简单，施工方便；缺点是可能在道路交汇处造成一定的空间浪费。
方案二：将两条道路设计成斜交（特殊情况）。草图：长方形土地内两条斜交的道路，把土地分成复杂的几块。优点是可能在视觉上有一定的独特性；缺点是施工难度较大，且土地利用可能不够规整。
(2) 方案一：
根据题意可得$(32 - x)(20 - x)=540$，
展开式子得$640-32x - 20x+x^{2}=540$，
整理得$x^{2}-52x + 100 = 0$，
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 1,b=-52,c = 100)$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-52)^{2}-4\times1\times100 = 2704 - 400 = 2304$，$x=\frac{52\pm\sqrt{2304}}{2}=\frac{52\pm48}{2}$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 50$（因为$x\lt20$，所以舍去$x_2 = 50$）。
方案二：设斜交道路与边的夹角等条件较复杂，若仍以道路宽为$x$，通过面积关系建立方程也可求解，但计算较为繁琐，此处以方案一为主流方案。
5. (2024·西宁) 如图，小区物业规划在一个长60 m、宽22 m的矩形场地ABCD上修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽为x m的道路，中间是宽为2x m的道路。如果阴影部分的总面积是600 m²，那么x满足的方程是（ ）
A. $x^{2}-41x + 180 = 0$ B. $x^{2}-41x + 225 = 0$ C. $x^{2}-41x+30 = 0$ D. $x^{2}-41x - 270 = 0$
答案：由题意可知，停车场去掉道路后的长为$(60 - 2x)$m，宽为$(22 - 2x)$m，根据阴影部分面积为$600m^{2}$，可得$(60 - 2x)(22 - 2x)=600$，展开式子：$1320-120x-44x + 4x^{2}=600$，整理得$4x^{2}-164x+720 = 0$，两边同时除以$4$得$x^{2}-41x + 180 = 0$，所以答案是A。
6. (2023·东营) 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门（建在EF处，另用其他材料）。
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少时，能围成一个面积为640 m²的羊圈？
(2) 羊圈的面积能达到650 m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
答案：(1) 设矩形羊圈垂直于墙的一边长为$x$m（$AB = x$m），则平行于墙的一边长为$(70 + 2-2x)$m（$BC=72 - 2x$m）。
根据矩形面积公式$S = AB\times BC$，可得$x(72 - 2x)=640$，
展开式子得$72x-2x^{2}=640$，整理得$x^{2}-36x + 320 = 0$，
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 1,b=-36,c = 320)$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-36)^{2}-4\times1\times320=1296 - 1280 = 16$，$x=\frac{36\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{36\pm4}{2}$，解得$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x = 16$时，$72 - 2x=72-2\times16 = 40$；当$x = 20$时，$72 - 2x=72-2\times20 = 32$。
所以当长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成面积为$640m^{2}$的羊圈。
(2) 设矩形羊圈垂直于墙的一边长为$x$m，则$x(72 - 2x)=650$，
展开式子得$72x-2x^{2}=650$，整理得$x^{2}-36x + 325 = 0$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-36)^{2}-4\times1\times325=1296 - 1300=-4\lt0$，因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根，即羊圈的面积不能达到$650m^{2}$。
