新课程能力培养九年级数学北师大版
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21. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 1$，点D，E在直线BC上运动。设$BD = x$，$CE = y$。
（1）如果$\angle BAC = 30°$，$\angle DAE = 105°$，试确定$y$与$x$之间的函数关系式。
（2）如果$\angle BAC=\alpha$，$\angle DAE=\beta$，当$\alpha$，$\beta$满足怎样的关系时，（1）中$y$与$x$之间的函数关系式还成立？试说明理由。
答：（1）
$y=\frac{1}{x}$
；（2）
$\beta=\frac{\alpha}{2}+90°$
。
答案：（1）$\angle ABC=\angle ACB=75°$，$\angle DAB + \angle CAE=75°$，$\angle ADB=180° - \angle ABD - \angle DAB=180° - 105° - \angle DAB=75° - \angle DAB=\angle CAE$，$\triangle ADB\sim\triangle EAC$，$\frac{BD}{AC}=\frac{AB}{CE}$，$\frac{x}{1}=\frac{1}{y}$，$y=\frac{1}{x}$。
（2）$\beta - \frac{\alpha}{2}=90°$时成立。理由：$\angle ABC=90° - \frac{\alpha}{2}$，$\angle ADB=180° - (90° + \frac{\alpha}{2}) - \angle DAB=90° - \frac{\alpha}{2} - \angle DAB$，$\angle CAE=\beta - \alpha - \angle DAB$，当$\beta - \alpha=90° - \frac{\alpha}{2}$，即$\beta=\frac{\alpha}{2}+90°$时，$\angle ADB=\angle CAE$，$\triangle ADB\sim\triangle EAC$，$y=\frac{1}{x}$。
答：（1）$y=\frac{1}{x}$；（2）$\beta=\frac{\alpha}{2}+90°$。
22. 如图1，已知$y = \frac{6}{x}(x＞0)$的图象上一点P，$PA\perp x$轴于点$A(a,0)$，点B坐标为$(0,b)(b＞0)$，动点M是y轴正半轴上点B上方的点，动点N在射线AP上，过点B作$AB\perp BQ$，交直线MN于点Q，交射线AP于点D，连接AQ，取AQ的中点C。
（1）如图2，连接BP，求$\triangle PAB$的面积。
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BCNQ是菱形，面积为$2\sqrt{3}$，求此时点P的坐标。
（3）当点Q在射线BD上时，且$a = 3$，$b = 1$，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长。
答案：（1）$P(a,\frac{6}{a})$，$S_{\triangle PAB}=S_{矩形OAPB}-S_{\triangle OAB}-S_{\triangle OBP}=\frac{1}{2}×a×\frac{6}{a}=3$。
（2）设$a = \sqrt{3}$，$P(\sqrt{3},\frac{6}{\sqrt{3}})=(\sqrt{3},2\sqrt{3})$（过程略，根据菱形性质及面积求得）。
（3）$a=3$，$P(3,2)$，$B(0,1)$，$AB$斜率$-\frac{1}{3}$，$BQ$斜率3，直线$BQ:y = 3x + 1$，D(3,10)，设Q(3m,9m + 1)，C为AQ中点，根据平行四边形性质求得周长为8或$4\sqrt{13}$。
答：（1）3；（2）$(\sqrt{3},2\sqrt{3})$；（3）8或$4\sqrt{13}$。
