新课程能力培养九年级数学北师大版
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3. 在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=
$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$
.
答案：$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$
①若△ADE∽△ACB，则$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，$\frac{2}{6}=\frac{AE}{8}$，AE=$\frac{8}{3}$.
②若△ADE∽△ABC，则$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{2}{8}=\frac{AE}{6}$，AE=$\frac{3}{2}$.
综上，AE=$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$.
4. △ABC和△A'B'C'符合下列条件，其中不能使△ABC和△A'B'C'相似的是（
D
）
A. ∠A=∠A'=45°，∠B=26°，∠B'=109°
B. AB=1，AC=1.5，BC=2，A'B'=4，A'C'=2，B'C'=3
C. ∠A=∠B'，AB=2，AC=2.4，A'B'=3.6，B'C'=3
D. AB=3，AC=5，BC=7，A'B'=$\sqrt{3}$，A'C'=$\sqrt{5}$，B'C'=$\sqrt{7}$
答案：D
A. ∠C=180°-45°-26°=109°=∠B'，两角对应相等，相似.
B. $\frac{AB}{A'C'}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{B'C'}=\frac{1.5}{3}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{A'B'}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，三边对应成比例，相似.
C. $\frac{AB}{B'C'}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{A'B'}=\frac{2.4}{3.6}=\frac{2}{3}$，夹角∠A=∠B'，相似.
D. $\frac{AB}{A'B'}=\sqrt{3}$，$\frac{AC}{A'C'}=\sqrt{5}$，$\frac{BC}{B'C'}=\sqrt{7}$，比例不相等，不相似.
故选D.
5. 如图，在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF:CF=（
A
）
A. 1:2 B. 1:3 C. 2:3 D. 2:5
答案：A
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC.
∵E为AD中点，∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC.
∵AD//BC，∴△AFE∽△CFB，$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，即AF:CF=1:2.
故选A.
6. 如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上一点，点E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（
A
）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
答案：A
设AB=BC=AC=x，则CD=x-3，AE=x-2.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∠BAD+∠ADB=120°.
∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠BAD=∠EDC.
∴△ABD∽△DCE，$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，$\frac{x}{x-3}=\frac{3}{2}$，
2x=3(x-3)，2x=3x-9，x=9.
故选A.
7. 如图，下面每组图中的两个三角形是否相似？为什么？
答案：图1：相似.
∵$\frac{AB}{DE}=\frac{5}{2.5}=2$，$\frac{AC}{DF}=\frac{6}{3}=2$，$\frac{BC}{EF}=\frac{10}{5}=2$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，∴△ABC∽△DEF.
图2：相似.
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{3.6}{5.4}=\frac{2}{3}$，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC.
8. 如图，点D，E在BC上，且FD//AB，FE//AC.求证：△ABC∽△FDE.
答案：∵FD//AB，∴∠FDE=∠B.
∵FE//AC，∴∠FED=∠C.
∴△ABC∽△FDE.
