答案：因为AB//CD，所以$\triangle ABP\sim\triangle DCP$，则$\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{CD}$。设AP = x，则DP = 10 - x，所以$\frac{x}{10 - x}=\frac{4}{7}$，$7x = 4(10 - x)$，$7x = 40 - 4x$，$11x = 40$，解得$x=\frac{40}{11}$，即AP的长为$\frac{40}{11}$，答案是A。

答案：由射影定理可得$CD^{2}=AD\cdot BD$，已知AD = 1，BD = 4，所以$CD^{2}=1\times4 = 4$，则CD = 2，答案是A。

答案：在Rt$\triangle ABC$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$。连接AE，因为DE垂直平分AB，所以AE = BE。设BE = x，则CE = 16 - x，在Rt$\triangle ACE$中，根据勾股定理$AC^{2}+CE^{2}=AE^{2}$，即$12^{2}+(16 - x)^{2}=x^{2}$，$144+256-32x+x^{2}=x^{2}$，$32x = 400$，解得$x=\frac{25}{2}$，所以BE的长为$\frac{25}{2}$。

答案：(1) 因为四边形ABCD是正方形，所以AD = CD，$\angle ADC = 90^{\circ}$。因为$\triangle DEF$是等腰直角三角形，所以DE = DF，$\angle EDF = 90^{\circ}$，那么$\angle EDF-\angle ADC=\angle ADC-\angle ADC$，即$\angle ADE=\angle CDF$。在$\triangle DAE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADE=\angle CDF\\DE = DF\end{cases}$，所以$\triangle DAE\cong\triangle DCF(SAS)$。
(2) 由(1)知$\triangle DAE\cong\triangle DCF$，所以$\angle DAE=\angle DCF$。因为四边形ABCD是正方形，所以$\angle B=\angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle BAG+\angle DAE = 90^{\circ}$，$\angle FCG+\angle DCF = 90^{\circ}$，所以$\angle BAG=\angle FCG$，又因为$\angle B=\angle FCG = 90^{\circ}$，$\angle AGB=\angle FGC$，所以$\triangle ABG\sim\triangle CFG$。

答案：(1) 因为DB平分$\angle ADC$，所以$\angle ADB=\angle CDB$，又因为$\angle ABD=\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABD\sim\triangle BCD$，则$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，所以$BD^{2}=AD\cdot CD$。
(2) 由$BD^{2}=AD\cdot CD$，CD = 6，AD = 8，可得$BD^{2}=8\times6 = 48$，$BD = 4\sqrt{3}$。因为BM//CD，所以$\angle MBD=\angle BDC$，又因为$\angle ADB=\angle BDC$，所以$\angle MBD=\angle ADB$，所以BM = MD。设BM = MD = x，则AM = 8 - x，在Rt$\triangle ABM$中，$AB^{2}=AD^{2}-BD^{2}=64 - 48 = 16$，$AB = 4$，根据勾股定理$AB^{2}+AM^{2}=BM^{2}$，即$4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$，$16+64-16x+x^{2}=x^{2}$，$16x = 80$，$x = 5$，即BM = MD = 5，AM = 3。因为BM//CD，所以$\triangle BMN\sim\triangle DCN$，则$\frac{MN}{CN}=\frac{BM}{CD}=\frac{5}{6}$，$MC=\sqrt{MD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{25 + 36}=\sqrt{61}$，所以$MN=\frac{5}{11}\sqrt{61}$。