新课程能力培养九年级数学北师大版
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7. 矩形的长与宽分别为$a$，$b$，下列数据能构成黄金矩形的是$(\quad)$
A. $a = 4$，$b=\sqrt{5}+2$
B. $a = 4$，$b=\sqrt{5}-2$
C. $a = 2$，$b=\sqrt{5}+1$
D. $a = 2$，$b=\sqrt{5}-1$
答案：D
黄金矩形宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，D选项$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合
8. 如图，$AB$是一根木棍，为使打造的东西更美观，需找到$AB$的一个黄金分割点，以便断开，请你完成这项任务。
答案：1. 过点$B$作$AB$的垂线，截取$BD=\frac{1}{2}AB$；
2. 连接$AD$，在$AD$上截取$DE = DB$；
3. 在$AB$上截取$AC=AE$，则点$C$为$AB$的黄金分割点（$AC＞CB$）
9. 已知$AB = 6$，点$C$为$AB$的黄金分割点$(AC＞BC)$，求$AC - BC$的值。
答案：$6\sqrt{5}-12$
$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=3\sqrt{5}-3$，$BC=AB - AC=6-(3\sqrt{5}-3)=9 - 3\sqrt{5}$，$AC - BC=(3\sqrt{5}-3)-(9 - 3\sqrt{5})=6\sqrt{5}-12$
10. 如图，已知$\triangle ABC$中，点$D$是$AC$边上一点，$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle C=72^{\circ}$，$\angle ADB = 108^{\circ}$。试说明：
(1) $AD = BD=BC$。
(2) 点$D$是线段$AC$的黄金分割点。
答案：(1) $\angle A=36^{\circ}$，$\angle ADB = 108^{\circ}\Rightarrow\angle ABD=180^{\circ}-36^{\circ}-108^{\circ}=36^{\circ}=\angle A\Rightarrow AD = BD$，$\angle BDC=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}=\angle C\Rightarrow BD = BC$，所以$AD=BD = BC$；
(2) $\angle A=\angle DBC=36^{\circ}$，$\angle C=\angle C\Rightarrow\triangle ABC\sim\triangle BDC\Rightarrow\frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC}\Rightarrow BC^{2}=AC\cdot DC$，$AD = BC\Rightarrow AD^{2}=AC\cdot DC$，所以点$D$是线段$AC$的黄金分割点
