新课程能力培养九年级数学北师大版
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例题 如图，点$C$是线段$AB$的黄金分割点，$BC＞AC$，点$D$，$E$分别是$AC$，$BC$的中点，那么点$C$是线段$DE$的黄金分割点吗？
是
答案：是
点$D$，$E$分别是$AC$，$BC$的中点，$CD=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，$DE=CD + CE=\frac{1}{2}(AC + BC)=\frac{1}{2}AB$。
点$C$是线段$AB$的黄金分割点，$BC＞AC$，$\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow BC^{2}=AB\cdot AC$，
$CE^{2}=(\frac{1}{2}BC)^{2}=\frac{1}{4}BC^{2}=\frac{1}{4}AB\cdot AC=\frac{1}{2}AB\cdot\frac{1}{2}AC=DE\cdot CD$，$\frac{CE}{DE}=\frac{CD}{CE}$，所以点$C$是线段$DE$的黄金分割点
1. 点$C$是线段$AB$上一点$(AC＞BC)$，且满足$AC^{2}=AB\cdot BC$，则点$C$是线段$AB$的
黄金分割
点。
答案：黄金分割
由黄金分割点定义：若点$C$把线段$AB$分成两条线段$AC$和$BC(AC＞BC)$，且$AC^{2}=AB\cdot BC$，则点$C$是线段$AB$的黄金分割点
2. 线段$AB$的长为$10\space cm$，点$C$是$AB$的黄金分割点，且$AC=\sqrt{AB\cdot BC}$，则$AC=$
$5\sqrt{5}-5$
$cm$。
答案：$5\sqrt{5}-5$
设$AC=x$，则$BC=10 - x$，$x^{2}=10(10 - x)\Rightarrow x^{2}+10x - 100=0$，解得$x=\frac{-10\pm\sqrt{100 + 400}}{2}=\frac{-10\pm10\sqrt{5}}{2}=-5\pm5\sqrt{5}$，取正$AC=5\sqrt{5}-5$
3. 如图，顶角为$36^{\circ}$的等腰三角形称为黄金三角形，$\triangle ABC$，$\triangle BDC$，$\triangle DEC$都是黄金三角形，已知$AB = 2\space cm$，则$DE=$
$3-\sqrt{5}$
$cm$。
答案：$3-\sqrt{5}$
$\triangle ABC$是黄金三角形，$AB = AC=2$，$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow BC=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$，同理$DC=BC=\sqrt{5}-1$，$AC=2\Rightarrow AD=AC - DC=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$，$\triangle DEC$是黄金三角形，$DE=AD=3-\sqrt{5}$
4. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$是边$BC$上的黄金分割点，且$BE＞CE$，$AE$与$BD$相交于点$F$，那么$FD:BF$的值为
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
。
答案：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
$AD// BC\Rightarrow\triangle AFD\sim\triangle EFB\Rightarrow\frac{FD}{BF}=\frac{AD}{BE}$，设$BC=1$，$BE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$AD=BC=1$，$\frac{FD}{BF}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
5. 如图，已知点$P$是线段$AB$的黄金分割点，且$PA＞PB$，若$S_{1}$表示以$PA$为边的正方形的面积，$S_{2}$表示长为$AB$、宽为$PB$的矩形的面积，那么$S_{1}$与$S_{2}$的关系为
$S_{1}=S_{2}$
。
答案：$S_{1}=S_{2}$
点$P$是黄金分割点，$PA^{2}=AB\cdot PB$，$S_{1}=PA^{2}$，$S_{2}=AB\cdot PB$，所以$S_{1}=S_{2}$
6. 在如图所示的五角星中，$\frac{AC}{AB}$与$\frac{BC}{AC}$的关系是$(\quad)$
A. $\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$
B. $\frac{AC}{AB}＞\frac{BC}{AC}$
C. $\frac{AC}{AB}＜\frac{BC}{AC}$
D. $\frac{AC}{AB}\neq\frac{BC}{AC}$
答案：A
五角星中每条线段都满足黄金分割比，即$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
