新课程能力培养九年级数学北师大版
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9. 如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且AB=2，BD=4，BC=8，试判断△ABD与△DBC是否相似，并说明理由.
答案：△ABD∽△DBC.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC.
∵$\frac{AB}{BD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}$，且∠ABD=∠DBC，
∴△ABD∽△DBC.
10. 如图，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，求证：AB·EC=AC·BD.
答案：∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE.
又∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，∴△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$，∴AB·EC=AC·BD.
11. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，AE=ED，DF=$\frac{1}{4}$DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长.
答案：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD，∠A=∠D=90°.
∵AE=ED，∴AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，∴$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$.
∵DF=$\frac{1}{4}$DC，∴DF=$\frac{1}{4}$AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，∴$\frac{DF}{DE}=\frac{\frac{1}{4}AB}{\frac{1}{2}AB}=\frac{1}{2}$.
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{DE}$，又∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEF.
（2）∵正方形边长为4，∴AD=CD=4，AE=ED=2，DF=1，FC=3.
∵AD//BG，∴△EDF∽△GCF，$\frac{ED}{GC}=\frac{DF}{CF}$，$\frac{2}{GC}=\frac{1}{3}$，GC=6.
BG=BC+CG=4+6=10.
