新课程能力培养九年级数学北师大版
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7. 根据下列条件判断Rt△ABC和Rt△A'B'C'是否相似，其中∠C = ∠C' = 90°。
(1) AC = 14 cm，BC = 6 cm，A'C' = 7 cm，B'C' = 3 cm。
(2) AB = $\sqrt{6}$ cm，AC = $\sqrt{3}$ cm，A'B' = $\sqrt{30}$ cm，A'C' = $\sqrt{15}$ cm。
答案：(1) 因为$\frac{AC}{A'C'}=\frac{14}{7}=2$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{3}=2$，所以$\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，又因为∠C = ∠C' = 90°，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。
(2) 因为$\frac{AC}{A'C'}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，所以$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，又因为∠C = ∠C' = 90°，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。
8. 如图，在△ABC中，AB = AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF = ∠B，且点D，F分别在边AB，AC上。
(1) 求证：△BDE∽△CEF。
(2) 当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC。
答案：(1) 因为AB = AC，所以∠B = ∠C。
又因为∠B + ∠BDE + ∠BED = 180°，∠DEF + ∠BED + ∠CEF = 180°，且∠DEF = ∠B，所以∠BDE = ∠CEF。
在△BDE和△CEF中，∠B = ∠C，∠BDE = ∠CEF，所以△BDE∽△CEF。
(2) 因为△BDE∽△CEF，所以$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$。
因为点E是BC的中点，所以BE = CE，那么$\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$，即$\frac{DE}{CE}=\frac{EF}{CF}$。
又因为∠DEF = ∠B = ∠C，所以△DEF∽△ECF。
所以∠DFE = ∠EFC，即FE平分∠DFC。
9. 如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F. 连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H。
(1) 求DE的长。
(2) 请说明：∠1 = ∠DFC。
答案：(1) 在矩形ABCD中，AD = BC = 3，CD = AB = 4，∠ADC = 90°。
因为AF平分∠DAC，所以∠DAE = ∠CAE。
因为AD∥CF，所以∠DAE = ∠F，所以∠CAE = ∠F，所以AC = CF。
在Rt△ADC中，$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，所以CF = 5。
因为AD∥CF，所以△ADE∽△FCE，设DE = x，则CE = 4 - x，$\frac{DE}{CE}=\frac{AD}{CF}$，即$\frac{x}{4 - x}=\frac{3}{5}$，
5x = 3(4 - x)，5x = 12 - 3x，8x = 12，解得$x=\frac{3}{2}$，所以DE = $\frac{3}{2}$。
(2) 因为AH∥DF，所以∠1 = ∠ADF。
因为AD∥CF，所以∠ADF = ∠DFC，所以∠1 = ∠DFC。
