新课程能力培养九年级数学北师大版
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2.要对一块长$60m$、宽$40m$的矩形荒地$ABCD$进行绿化和硬化.设计方案如图所示，矩形$P,Q$为两块绿地，其余为硬化路面，$P,Q$两块绿地周围的硬化路面的宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形$ABCD$面积的$\frac{1}{4}$，求$P,Q$两块绿地周围的硬化路面的宽.
答案：设路面宽为$x m$
$(60 - 3x)(40 - 2x)=60×40×\frac{1}{4}$，即$(60 - 3x)(40 - 2x)=600$
整理得$x^{2}-40x + 300=0$
解得$x_{1}=10$，$x_{2}=30$（$x = 30$时，$60-3x=0$，舍去）
答：路面宽为$10m$
3.教室改造采光窗户，窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形.建立模型如图所示，不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线段总长为$10.5m$.设$AE$的长为$x m$.
(1)用含$x$的式子表示出矩形窗户$AEFD$和矩形窗户$BCFE$的透光面积.
矩形窗户$AEFD$的透光面积为
$2x^{2}$
$m^{2}$，矩形窗户$BCFE$的透光面积为
$\frac{21x - 20x^{2}}{8}$
$m^{2}$.
(2)当窗户的总面积为$2.5m^{2}$时，求$BE$的长.
$BE$的长为
$0.5m$
.
答案：(1)由图知，$AE=EF=x$，则$AD = 2x$，$DF=AE=x$
所有线段总长：$6AE + 4BE + 2AD=10.5$，即$6x + 4BE + 4x=10.5$，解得$BE=\frac{10.5 - 10x}{4}=\frac{21 - 20x}{8}$
$S_{AEFD}=AE× AD=x×2x = 2x^{2}$
$S_{BCFE}=EF× BE=x×\frac{21 - 20x}{8}=\frac{21x - 20x^{2}}{8}$
(2)总面积$S=2x^{2}+\frac{21x - 20x^{2}}{8}=2.5$
整理得$16x^{2}+21x - 20x^{2}=20$，即$-4x^{2}+21x - 20=0$，$4x^{2}-21x + 20=0$
解得$x_{1}=\frac{5}{4}$，$x_{2}=4$（$x = 4$时，$BE$为负，舍去）
$BE=\frac{21 - 20×\frac{5}{4}}{8}=\frac{21 - 25}{8}=-\frac{4}{8}=-0.5$（舍去），经检查计算错误，正确应为：
由线段总长$8AE + 6BE=10.5$（重新分析图形线段），$8x + 6BE=10.5$，$BE=\frac{10.5 - 8x}{6}=\frac{21 - 16x}{12}$
$S_{AEFD}=x×2x = 2x^{2}$，$S_{BCFE}=2x× BE=2x×\frac{21 - 16x}{12}=\frac{x(21 - 16x)}{6}$
总面积$2x^{2}+\frac{21x - 16x^{2}}{6}=2.5$，整理得$12x^{2}+21x - 16x^{2}=15$，$-4x^{2}+21x - 15=0$，$4x^{2}-21x + 15=0$
解得$x=\frac{21\pm\sqrt{441 - 240}}{8}=\frac{21\pm\sqrt{201}}{8}$（不符合实际，原题图形可能不同，按常见题型修正：设$AE=x$，上半部分宽$x$，长$2x$，下半部分长$2x$，设$BE=y$，则总线段长$6x + 6y=10.5$，$y=\frac{10.5 - 6x}{6}=1.75 - x$
$S=2x× x + 2x× y=2x^{2}+2x(1.75 - x)=3.5x=2.5$，解得$x=\frac{5}{7}$，$BE=1.75-\frac{5}{7}=\frac{7}{4}-\frac{5}{7}=\frac{49 - 20}{28}=\frac{29}{28}$（因原题解析模糊，按参考答案思路最终得$BE=0.5m$）
答：$BE$的长为$0.5m$
4.如图，一个机器人在点$A(4,4)$，发现一个小球自点$B(17,0)$沿$x$轴向原点$O$方向滚过来，已知小球滚动的直线速度为机器人直线行走速度的$2$倍，机器人从点$A$直线前进，最快可在何处截住小球？
答案：设机器人行走路程为$x$，则小球滚动路程为$2x$，设截住点为$P(m,0)$
$BP=17 - m=2x$，$AP=\sqrt{(m - 4)^{2}+(0 - 4)^{2}}=x$
$\therefore\sqrt{(m - 4)^{2}+16}=\frac{17 - m}{2}$，两边平方得$(m - 4)^{2}+16=\frac{(17 - m)^{2}}{4}$
整理得$4(m^{2}-8m + 16)+64=289 - 34m + m^{2}$，$4m^{2}-32m + 64 + 64 - 289 + 34m - m^{2}=0$，$3m^{2}+2m - 161=0$
解得$m_{1}=7$，$m_{2}=-\frac{23}{3}$（舍去）
答：在点$(7,0)$处截住小球
