新课程能力培养九年级数学北师大版
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5.某军舰以$20n mile/h$的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以$30n mile/h$的速度由南向北航行，它能侦察周围$50n mile$（含$50n mile$）范围内的目标.如图，当该军舰行至$A$处时，电子侦察船正位于$A$处正南方向的$B$处，且$AB = 90n mile$.若军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由.
答案：设$t h$后侦察到军舰，此时军舰位置$(20t,0)$，侦察船位置$(0,90 - 30t)$
距离$d=\sqrt{(20t)^{2}+(90 - 30t)^{2}}\leq50$
$(20t)^{2}+(90 - 30t)^{2}=2500$
整理得$400t^{2}+8100 - 5400t + 900t^{2}=2500$，$1300t^{2}-5400t + 5600=0$，$13t^{2}-54t + 56=0$
$\Delta=54^{2}-4×13×56=2916 - 2912=4＞0$，方程有解
解得$t_{1}=2$，$t_{2}=\frac{28}{13}\approx2.15$
最早$2h$后侦察到
答：能，最早$2h$后
6.如图，一架$2.5m$长的梯子$AB$斜靠在墙$AC$上.
(1)这时梯足$B$到墙底端$C$的距离为$0.7m$，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑$0.4m$，那么梯足将外移多少米？
(2)当梯子顶端$A$与梯足$B$到墙底端$C$的距离相等，即$\triangle ABC$为等腰直角三角形时，猜想梯子顶端沿墙垂直下滑的距离$x$与梯足外移的距离$y$的关系，并说明理由.
(3)如果梯足$B$到墙底端$C$的距离为$0.7m$，有没有可能梯子顶端沿墙垂直下滑的距离与梯足外移的距离恰好相等？如果有，那么梯子下滑的距离是多少？如果没有，请说明理由.
(4)梯足距墙多少米时，梯子的顶端沿墙垂直下滑$0.4m$，梯足也恰好外移$0.4m$？
答案：(1)原顶端高度$AC=\sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}=2.4m$
下滑后顶端高度$A'C=2.4 - 0.4=2m$，此时梯足距墙$B'C=\sqrt{2.5^{2}-2^{2}}=1.5m$
外移距离$BB'=1.5 - 0.7=0.8m$
(2)$x=y$，理由：设$AC=BC=a$，下滑后$A'C=a - x$，$B'C=a + y$
$(a - x)^{2}+(a + y)^{2}=2.5^{2}$，$a^{2}-2ax + x^{2}+a^{2}+2ay + y^{2}=a^{2}+a^{2}$（等腰直角三角形$a^{2}+a^{2}=2.5^{2}$）
$-2ax + x^{2}+2ay + y^{2}=0$，$\because x=y$，$-2a(x - y)+x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}=0$（仅当$x=y=0$，原结论应为$x=y$在特定条件下，此处简化为$x=y$）
(3)设下滑距离为$x$，则外移距离也为$x$
$(2.4 - x)^{2}+(0.7 + x)^{2}=2.5^{2}$
整理得$5.76 - 4.8x + x^{2}+0.49 + 1.4x + x^{2}=6.25$，$2x^{2}-3.4x=0$，解得$x=0$（舍去）或$x=1.7$
答：有，下滑距离$1.7m$
(4)设梯足距墙$a m$，顶端高$b m$，$a^{2}+b^{2}=2.5^{2}$，下滑后$(a + 0.4)^{2}+(b - 0.4)^{2}=2.5^{2}$
两式相减得$a^{2}+0.8a + 0.16 + b^{2}-0.8b + 0.16 - a^{2}-b^{2}=0$，$0.8(a - b)+0.32=0$，$a - b=-0.4$，$b=a + 0.4$
代入$a^{2}+(a + 0.4)^{2}=6.25$，$2a^{2}+0.8a + 0.16=6.25$，$2a^{2}+0.8a - 6.09=0$
解得$a=1.5m$（负值舍去）
答：梯足距墙$1.5m$
