新课程能力培养九年级数学北师大版
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10. 如图，已知$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
(1) 试说明：$\frac{BD}{AB}=\frac{EC}{AC}$。
(2) 若$AB = 10$，$AE = 2$，$EC = 3$，求$AD$的长。
答案：(1) 设$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=k$，则$AD = kDB$，$AE=kEC$，$AB=AD + DB=kDB + DB=DB(k + 1)$，$AC=AE + EC=kEC + EC=EC(k + 1)$，$\frac{BD}{AB}=\frac{DB}{DB(k + 1)}=\frac{1}{k + 1}$，$\frac{EC}{AC}=\frac{EC}{EC(k + 1)}=\frac{1}{k + 1}$，所以$\frac{BD}{AB}=\frac{EC}{AC}$；
(2) 设$AD=x$，则$DB=10 - x$，$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{10 - x}=\frac{2}{3}\Rightarrow3x=20 - 2x\Rightarrow5x = 20\Rightarrow x = 4$，$AD = 4$
11. 如图，已知$\frac{AB}{BE}=\frac{AM}{ME}=\frac{AC}{CE}$。试说明：$\frac{AB + BC + AC}{BC}=\frac{AE}{ME}$。
答案：设$\frac{AB}{BE}=\frac{AM}{ME}=\frac{AC}{CE}=k$，则$AB = kBE$，$AM=kME$，$AC=kCE$，$AE=AM + ME=kME + ME=ME(k + 1)\Rightarrow\frac{AE}{ME}=k + 1$，$BC=BE + CE$，$AB + BC + AC=kBE + BE + CE + kCE=(k + 1)(BE + CE)=(k + 1)BC$，所以$\frac{AB + BC + AC}{BC}=k + 1=\frac{AE}{ME}$
12. (2024·常州) 书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术。如图，一幅书画在装裱前的大小是$1.2m×0.8m$。装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是$a\space m$，$b\space m$，$c\space m$，$d\space m$。若装裱后$AB$与$AD$的比是$16:10$，且$a = b$，$c = d$，$c = 2a$，求四周边衬的宽度。
答案：设$a=b=x$，则$c=d = 2x$，$AB=1.2 + c + d=1.2 + 4x$，$AD=0.8 + a + b=0.8 + 2x$，$\frac{AB}{AD}=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}\Rightarrow\frac{1.2 + 4x}{0.8 + 2x}=\frac{8}{5}\Rightarrow5(1.2 + 4x)=8(0.8 + 2x)\Rightarrow6 + 20x=6.4 + 16x\Rightarrow4x=0.4\Rightarrow x = 0.1$，所以$a=b = 0.1m$，$c=d=0.2m$
