7、解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中a＞b＞0待定

由e²===1－()²

可知===，即a=2b

设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，

则d²=x²+(y－)²=a²(1－)+y²－3y+

= 4b²－3y²－3y+=－3(y+)²+4b²+3，其中－b≤y≤b

如果b＜，则当y=－b时d²(从而d)有最大值，

由题设得()²=(b+)²，

由此得b=－＞，与b＜矛盾

因此必有b≥成立，于是当y=－时d²(从而d)有最大值，

由题设得()²=4b²+3，由此可得b=1，a=2

故所求椭圆的直角坐标方程是+y²=1

由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点(－，－)，点(，－)到点P的距离都是

解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是

其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，

∵e=，∴a=2b

设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则

d²=x²+(y－)²=a²cos²θ+(bsinθ－)²=－3b²·(sinθ+)²+4b²+3

如果＞1，即b＜，

则当sinθ=－1时，d²(从而d)有最大值，

由题设得()²=(b+) ²，

由此得b=－＞，与b＜矛盾

因此必有≤1成立，于是当sinθ=－时，d²(从而d)有最大值，

由题设得()²=4b²+3 由此得b=1，a=2

所以椭圆参数方程为

消去参数得+y²=1，

由sinθ=，cosθ=±知椭圆上的点(－，－)，(，－)到P点的距离都是

6、3－k²>1－k>0k∈(－1，1)，方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1－k>3－k²>0k∈(－，－1)，方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－k²>0k=－1，表示的是一个圆；(1－k)(3－k²)<0k∈(－∞，－)∪(1，)，表示的是双曲线；k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在

10.(2006山东卷)双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当，且时，求Q点的坐标.

DAB　　 4、　 个　 5、

9.从椭圆+=1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围；

(3)过F₁作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程.

8.如下图，过抛物线y²=2px(p＞0)上一定点P(x₀，y₀)(y₀＞0)，作两条直线分别交抛物线于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂).

(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

7.设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标

5.试给出方程+=1表示双曲线的充要条件:__________________.

6 试讨论方程(1－k)x²+(3－k²)y²=4(k∈R)所表示的曲线.

6.设，是双曲线上位于第一象限的点，对于命题①；②以线段为直径的圆与圆相切；③存在常数，使得到直线的距离等于.其中所有正确命题的序号是________.

[典型例题选讲]

例1.如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0，b≠0)，且交抛物线y²=2px(p>0)于M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)两点

(1)写出直线l的截距式方程；

(2)证明：+=；(3)当a=2p时，求∠MON的大小

例2.已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，双曲线－=1的两条渐近线为l₁、l₂ ，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B .(如图)

(1)当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

(2)当时，求的最大值

例3.如图, 矩形ABCD中, , 以AB边所在的直线为x轴, AB的中点为原点建立直角坐标系, P是x轴上方一点, 使PC、PD与线段AB分别交于、两点, 且成等比数列, 求动点P的轨迹方程

例4.抛物线y²=4px(p>0)的准线交x轴于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.

(1)若线段AB的垂直平分线交x轴于N(x₀，0)，求证：x₀>3p；

(2)若直线l的斜率依次为p，p²，p³，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N₁，N₂，N₃，…，当0<p<1时，求++…+的值.

BCCDA　 6、①②③

例1：(1)解：直线l的截距式方程为+=1

(2)证明：由+=1及y²=2px消去x可得by²+2pay－2pab=0　　　

点M、N的纵坐标为y₁、y₂，

故y₁+y₂=，y₁y₂=－2pa

所以+===

(3)解：设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，

则k₁=，k₂=

当a=2p时，由(2)知，y₁y₂=－2pa=－4p²，

由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，相乘得(y₁y₂)²=4p²x₁x₂，

x₁x₂===4p²，

因此k₁k₂===－1

所以OM⊥ON，即∠MON=90°

例2：解：(1)∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，

又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°= ∴a=b

又a²+b²=4， ∴a²=3，b²=1

故椭圆C的方程为+y²=1

(2)由已知l：y=(x－c)，与y=x解得P(，)，

由=λ得A(，)

将A点坐标代入椭圆方程得

(c²+λa²)²+λ²a⁴=(1+λ)²a²c²

∴(e²+λ)²+λ²=e²(1+λ)²

∴λ²==－［(2－e²)+］+3≤3－2

∴λ的最大值为－1

例3：解: 显然有,

设,

三点共线, ,　　　　

　, 又三点共线,

,　 , ,

　 , ,

　 化简得动点P的轨迹方程为

例4：(1)证明：设直线l方程为y=k(x+p)，代入y²=4px.

得k²x²+(2k²p－4p)x+k²p²=0.

Δ=4(k²p－2p)²－4k²·k²p²>0，

得0<k²<1.

令A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则x₁+x₂=－，y₁+y₂=k(x₁+x₂+2p)=，

AB中点坐标为(，).

AB垂直平分线为y－=－(x－).

令y=0，得x₀==p+.

由上可知0<k²<1，∴x₀>p+2p=3p.

∴x₀>3p.

(2)解：∵l的斜率依次为p，p²，p³，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N₁，N₂，N₃，…(0<p<1).

∴点N_n的坐标为(p+，0).

|N_nN_n+1|=|(p+)－(p+)|=，

=，

所求的值为［p³+p⁴+…+p²¹］=.

5.已知是椭圆+＝1的两个焦点，是椭圆上的点，当时，的面积最大，则有　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.m=12，n=3　 　　　 　B.m=24，n=6　 　　C.m=6，n=　 　D.m=12，n=6

4.以正方形的相对顶点为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　(　　 )

A.　　 　 B.　 　　C.　　　　　 　 D.