20．(本题满分16分)

　 若函数．

(1)当，时，若函数的图象与轴所有交点的横坐标的和与积分别为，．

(i)求证：的图象与轴恰有两个交点；

(ii)求证：．

(2)当，时，设函数有零点，求的最小值．

解：(1)(i)因为，

所以是使取到最小值的唯一的值，且在区间上，函数单调递减；在区间上，函数单调递增．因为，，，所以的图象与x轴恰有两个交点． …4分

(ii)设x₁，x₂是方程的两个实根，则有因式，且可令. 于是有.　　　　　 ①

分别比较(*)式中常数项和含x³的项的系数，得，，

解得，．

所以．

分别比较①式中含x和x²的项的系数，得

，………②，，③

②× + ③×n得，即．…………10分

(2)方程化为：，

　　 令,方程为，，即有绝对值不小于2的实根．

设，

当，即时，只需，此时，；

当，即时，只需，此时，；

当，即时，只需或，即或，此时．

的最小值为．…………………………………………………16分

(附加题)

19．(本题满分16分)

设f(x)＝x³，等差数列{a_n}中a₃＝7，，记S_n＝，令b_n＝a_nS_n，数列的前n项和为T_n．

(1)求{a_n}的通项公式和S_n；　　　　　　　　　

(2)求证：T_n＜；

(3)是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

解：(1)设数列的公差为，由，．

解得,＝3,∴∵

∴S_n＝＝．…4分

(2) 　，∴　

∴。　　　　　　　　　　 ………………………8分

(3)由(2)知，　　 ∴，

　∵成等比数列．

∴ ，即………………………9分

当时，7，＝1，不合题意；

当时，，＝16，符合题意；………………………10分

当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解； ………………………12分

当时， ，则，而，

所以，此时不存在正整数m，n，且1<m<n，使得成等比数列． ………15分

综上，存在正整数m＝2，n＝16，且1<m<n，使得成等比数列．…………16分

18．(本题满分16分)

已知曲线E：ax²+by²＝1(a＞0，b＞0)，经过点M(，0)的直线l与曲线E交

于点A、B，且→＝－2→．

(1)若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程；

(2)若a＝b＝1，求直线AB的方程．

解：

(1)　　　 设A(x₀，y₀)，因为B(0，2)，M(，0)

　 故→＝(－，2)，→＝(x₀－，y₀)．　 ……………………………………2分

因为→＝－2→，所以(－，2)＝－2(x₀－，y₀)．

所以x₀＝，y₀＝－1．即A(，－1)．　　 ……………………………………4分

因为A，B都在曲线E上，所以解得a＝1，b＝．

所以曲线E的方程为x²+＝1．　　　　　 ……………………………………6分

(2)(法一)当a＝b＝1时，曲线E为圆：x²+y²＝1．设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

因为→＝－2→，所以(x₂－，y₂) ＝－2(x₁－，y₁)，即

设线段AB的中点为T，则点T的坐标为(，)，即(，－)．

所以((OT＝(，－)，((AB＝(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(－3x₁，－3y₁)．

因为OT⊥AB，所以((OT×((AB＝0，即3－4x₁+3x+3y＝0．

因为x+y＝1，所以x₁＝，y₁＝±．

当点A的坐标为(，－)时，对应的点B的坐标为(0，1)，此时直线AB的斜率

k＝－，所求直线AB的方程为y＝－x+1；

当点A的坐标为(，)时，对应的点B的坐标为(0，－1)，此时直线AB的斜率k＝，

所求直线AB的方程为y＝x－1．　　　　　 ……………………………………16分

(法二)当a＝b＝1时，曲线E为圆：x²+y²＝1．设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

因为→＝－2→，所以(x₂－，y₂) ＝－2(x₁－，y₁)，即

因为点A，B在圆上，所以　

由①×4－②，得(2x₁+x₂)(2x₁－x₂)＝3．所以2x₁－x₂＝，解得x₁＝，x₂＝0．

由x₁＝，得y₁＝±．(以下同方法一)

(法三)如图，设AB中点为T．

则TM＝TA－MA＝AB，OM＝．

根据Rt△OTA和Rt△OTM，得

即解得AB＝，OT＝．所以在Rt△OTM中，tanÐOMT＝＝．

所以k_AB＝－或．所以直线AB的方程为y＝－x+1或y＝x－1．

17．(本题满分14分)

某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC的支架，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米．为节省材料，要求AC的长度越短越好，求AC的最短长度，且当AC最短时，BC的长度为多少米？

解：设BC＝x米(x＞1)，AC＝y米，则AB＝y－．

在△ABC中，由余弦定理，得(y－)²＝y²+x²－2xycos60°．

所以y＝(x＞1)．

法一：y＝＝(x－1)++2≥2+．

当且仅当x－1＝，即x＝1+时，y有最小值2+．

法二： y′＝＝．

由y′＝0得x＝1+．因为当1＜x＜1+时，y′＜0；当x＞1+时，y′＞0，

所以当x＝1+时，y有最小值2+．

答：AC的最短长度为2+米，此时BC的长度为(1+)米．……………14分

16．(本题满分14分)

在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,

,、分别为、的中点.

　 ⑴证明：；

　 ⑵(理)求二面角的正切值；

　 ⑶求点到平面的距离.

解：

解法：⑴取中点,连结、.

∵,∴,,

∴平面,又平面,∴.　　　 ……4分

　 ⑵∵平面,平面,∴平面平面.

过作于,则平面,

过作于,连结,则,为二面角的平面角.

∵平面平面,,∴平面.

又平面,∴.∵,

∴,且.

在正中,由平几知识可求得,

在中,

∴二面角的正切值为.　 ……8分

　 ⑶在中,,∴,.

设点到平面的距离为,

∵,平面,∴,

∴.即点到平面的距离为.　 ……14分

解法：⑴取中点,连结、.∵,,

∴,.∵平面平面,

平面平面,∴平面,∴.

如图所示建立空间直角坐标系,则,,

,,∴,,

∵,∴.　 ……6分

　 ⑵∵,,又,∴,.

设为平面的一个法向量,则,

取,,,∴.又为平面的一个法向量,

∴,得

∴.即二面角的正切值为.　　　 ……10分

　 ⑶由⑴⑵得,又为平面的一个法向量,,

∴点到平面的距离.……14分

15．(本题满分14分)

　　 如图所示,已知的终边所在直线上的一点的坐标为,的终边在第一象限且与单位圆的交点的纵坐标为.

　 ⑴求的值；

　 ⑵若,,求.

解：⑴由三角函数的定义知

∴.

又由三角函数线知,

∵为第一象限角,∴,∴.　　　　　 ……7分

⑵∵,,∴.

又,,∴. …8分

∴.

由,,得,∴.　　　　　　　　 ……14分

14．已知定义在上的函数f(x)满足f(1)＝2，，则不等式解集

　　 　　▲　　 ．

答案： 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

13．已知a > 0，b > 0，且，其中{a，b}表示数a，b中较小的数，则h的最大值为　　 ▲　　 ．

答案：

12．已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q为小于1的正有理数。若，且是正整数，则q等于　　 ▲　　 ．

答案：

11．已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线

　　 PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为　　 ▲　　 ．

答案：

解析：一定关于原点对称，设，，

则，，．