⑴ 在中，若，则　　　　　　　　 　　　　　　　　　　(　 )

　 (A)　　 (B)　　 (C)　　　 (D)

⑵ 曲线在点()处切线的倾斜角为　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　 (A) 　　(B)　　 (C)　　　 (D)

⑶ 已知是的充分不必要条件，是的必要条件，那么是成立的：　　　　　　　　 (　 )

　 (A)充分不必要条件　　 (B)必要不充分条件　　　 (C)充要条件　　　 (D)既不充分，也不必要条件

⑷ 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　 (A) 　　　(B) 　　　　(C) 　　　　(D)

⑸ 若一个等差数列前3项的和为30，最后三项的和为150，且所有项的和为300，则这个数列有(　 )

　 (A)12项　　　 (B)11项　　　　　 (C)10项　　　　 (D)9项

⑹ 如图，长方体中，AC与BD的交点为M，设a,=b,c,则下列向量中与相等的向量是：(　 )

　 (A)a + b + c　　

　(B) a + b + c

(C) a -b + c　　

(D) a - b + c

⑺ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

　 (A)　　　　　　 (B)

(C) 　　　(D)

⑻ 曲线与直线所围成图形的面积等于　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　 (A) 　　(B) 　　(C) 　(D)

⑼ 正三棱柱(侧棱与底面垂直，底面是正三角形的棱柱)的体积是V，当其表面积最小时，底面边长是(　 )

　 (A)　　 (B) 　　(C) 　　　(D)

⑽ 在一座20m高的观测台测得地面一水塔顶仰角为，塔底俯角为，那么这座塔的高为　 (　 )

　 (A)　　 (B) 　　(C) 　　　(D)

⑾ 若A(3，2)，F为抛物线的焦点，P在抛物线上，则使最小时的P点坐标为(　 )

　 (A)(2，2)　　　 (B)(3，)　　　 (C) (3，－)　　　 (D) (3，±)

⑿ 已知三个不等式：①； ②； ③≤0.要使同时满足①式和②式的所有x的值都满足③式，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　 (A)　　 (B) 　　　(C) ≤6　　　 (D)0<≤9

第II卷(非选择题　 共90分)

22. 解：(1)设双曲线C₂的方程为，则

故C₂的方程为

(2)将

由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得

即　 　　　　　　①

.

由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得　　　　 ③

由①、②、③得

故k的取值范围为

21. 解：(1)取AC中点O，连结OS、OB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.

则A(2，0，0)，C(－2，0，0)，

S(0，0，2)，B(0，2，0).

∴=(－4，0，0)，=(0，－2，2)，

∵·=(－4，0，0)·(0，－2，2)=0，

∴AC⊥BS.

(2)由(Ⅰ)得M(1，，0)，，，

设=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，

则　

∴可取=(－1，，－1)， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，

∴cos(，)==

∴二面角N－CM－B的大小为arccos

(3)由(Ⅰ)(Ⅱ)得=(2，2，0)，

=(－1，，－1)为平面CMN的一个法向量，

∴点B到平面CMN的距离d=

20. 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为

　　 点P(1，2)在抛物线上

　　 ，得

　　 故所求抛物线的方程是

　　 准线方程是

　　 (2)设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为

　　 则，

　　 PA与PB的斜率存在且倾斜角互补

　　 由A()，B()在抛物线上，得

　　 　　(1)

　　 　　　(2)

　　 由(1)-(2)得直线AB的斜率

19. 解：(1)解法一：如图所示建立空间直角坐标系。并由题上的条件知，

A(0,0,0)，B(4,0,0)，P(4,4,1)，

所以，

可以作为平面BCC₁B₁的一个法向量，

又

所以，直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小为。

解法二：连结BP.

　　　　 ∵AB⊥平面BCC₁B₁，　 ∴AP与平面BCC₁B₁所成的角就是∠APB,

　　　　 ∵CC₁=4CP,CC₁=4，∴CP=I.

　　　　 在Rt△PBC中，∠PCB为直角，BC=4，CP=1，故BP=.

　　　　 在Rt△APB中，∠ABP为直角，tan∠APB=

　　　　 ∴∠APB=

(2)解法一：知D₁(0,4,4)，O(2,2,4)，所以,

又知，O点在平面D₁AP上的射影是H，所以

所以，

=0

所以，D₁H⊥AP。

解法二：O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，所以OD₁平面ACC₁A₁,所以OD₁AP.

又O点在平面D₁AP上的射影是H，根据三垂线定理，知D₁H⊥AP。

18. 解：假设存在，探索，

当时，由，解得；

当时，由，解得；

当时，同样可解得；

由此猜想。

下面用数学归纳法证明：

当，时，等式成立。

事实上，

(1)当时，，结论成立；

(2)假设时结论成立，则

。

这说明时，等式也成立。

由(1)(2)知，对于大于1的自然数，存在使

恒成立。

17. 解：原方程化简为

设代入上述方程得

解得　 ∴原方程的解是

13.；14. ；15. ；16.2。

ABBBB;BACAC;DB

22.已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点。

(1)求双曲线C₂的方程；

(2)若直线l：与椭圆C₁及双曲线C₂恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。

期末综合复习题(理)