9.P是双曲线-=1(a＞0,b＞0)右支上一点，F₁、F₂分别是左、右焦点，且焦距为2c,则△PF₁F₂的内切圆圆心的横坐标为(　　 )

A.a　　　　　　　　 B.b　　　　　　　　 C.c　　　　　　　　　 D.a+b-c

解析：利用平面几何的知识及双曲线的定义易知：△PF₁F₂的内切圆与x轴的切点为双曲线的右顶点.

答案：A

已知椭圆的左、右两个焦点为F₁、F₂,离心率为,又抛物线C₂:y²=4mx(m>0)与椭圆C₁有公共焦点F₂(1,0).

(1)求椭圆和抛物线的方程;

(2)设直线l经过椭圆的左焦点F₁且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足,求实数λ的取值范围.

解:(1)在椭圆中,c=1,,

所以,

故椭圆方程为.

抛物线中,,所以p=2,

故抛物线方程为y²=4x.

(2)设直线l的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得

消去y,整理,得k²x²+(2k²-4)x+k²=0.

因为直线和抛物线有两个交点,

所以k≠0,(2k²-4)²-4k⁴>0.

解得-1<k<1且k≠0.

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则

x₁x₂=1.

又,

所以

又y²=4x,

由此得4x₁=λ²4x₂,即x₁=λ²x₂.

由x₁x₂=1,

解得x₁=λ,x₂=.

又,

所以.

又因为0<k²<1,

所以,

解得λ>0且λ≠1.

22．解：(I)设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.

∴椭圆C的方程为

　 (II)方法一：设A、B、M点的坐标分别为

易知F点的坐标为(2，0).

将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得

方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为(2，0).　 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是　　 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

又

22.(2005中科大附中模拟，22)已知双曲线C的中心在原点，抛物线y²=2x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点(1，),

(1)求双曲线的方程；

(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，试问：

①k为何值时⊥;

②是否存在实数k，使A、B两点关于直线y=mx对称(m为常数)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

解析：(1)由题意设双曲线方程为=1，

把(1，)代入得=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (*)

又y²=2x的焦点是(，0)，故双曲线的c²=a²+b²=与(*)联立，消去b²可得4a²-21a²+5=0,(4a²-1)(a²-5)=0.

∴a²=,a²=5(不合题意舍去)

于是b²=1，∴双曲线方程为4x²-y²=1；

(2)由消去y得

(4-k²)x²-2kx-2=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (*)

当Δ＞0 即-2＜k＜2(k≠±2)时，

l与C有两个交点A、B,

①设A(x₁，y₁),B(x₂，y₂)，

因⊥，故·=0即x₁x₂+y₁y₂=0，

由(*)知x₁+x₂=,x₁x₂=，

代入可得+k²·+k·+1=0,

化简得k²=2,∴k=±，检验符合条件，故当k=±时，⊥.

②若存在实数k满足条件，则必须

由(ⅱ)(ⅲ)得m(x₁+x₂)=k(x₁+x₂)+2,

把x₁+x₂=代入(ⅰ)得mk=4这与(ⅰ)的km=-1矛盾，故不存在实数k满足条件.

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于

　 (I)求椭圆C的标准方程；

　 (II)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若

　　　　 为定值

5、(2009咸宁市期末)已知A(-2，0)、B(2，0)，点C、点D满足

　 (1)求点D的轨迹方程；

　 (2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆与M、N两点，线段MN的中点到y轴的

　　　　 距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程。

解：

　 (1)设C、D点的坐标分别为C(x₀，y₀)，D(x，y)，则=(x₀+2，y₀)，=(4，0)

　　　 则(x₀+6，y₀)，故　　　　　　　　　 ···2分

　　　 又　　　　　　　　　　　　　　　 ···4分

　　　 代入得x²+y²=1，即为所求点D的轨迹方程　　　　 ···6分

　 (2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2)　　　 ①

　　　 又设椭圆方程为　　　　　　　　　　　　　　　 ②

　　　 因为直线l与圆x+y=1相切，故，解得k=

　　　 将①代入②整理得，

　　　 而k=即

　　　 设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则x₁+x₂=

　　　 由题意有求的a=8，经检验，此时△＞0.

　　　 故所求的椭圆方程为　　　　　　　　 ···13

22．解：注意到图形的对称性不妨设

　 (I)(解法1)当P=1时，F(1，0)，

　 ………………4分

　 (解法2)

　 (II)(解法1)　 ………………6分

因此存在p=1使得以MN为直径的圆恒过抛物线的焦点F。　 …………9分

　 (解法2)当以MN为直径的圆过F点时，

　 ………………9分

　 (解法3)当以MN为直径的圆过F点时，MF⊥NF，

　 (III)证明：设，　 ………………10分

………………13分

当且仅当取得最小值。

所以不论为何值，当∠MFN最小时，P点的横坐标总是定值。　 ………14分

平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点A(1，0)、B(0，－2)，点C满足

　 、.

　 (Ⅰ)求点C的轨迹方程；

　 (Ⅱ)设点C的轨迹与双曲线交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围.

解：(Ⅰ)设,则

,

即点C的轨迹方程为.　 ………………………………………………4分

　 (Ⅱ)由题意.

.　 …………6分

.

,

.　 …………………………………9分

(Ⅲ)..

.

∴双曲线实轴长的取值范围是.　 　

22．(本小题满分14分)

　　　　 如图，设P为抛物线上异于原点O的任意一点，F为抛物线的焦点，直线l：x=-1交x轴于点A，过点P作直线l的垂线PM，垂足为M，作射线PO交直线l于点N。

　 (I)当p=1，|MF|=|MP|时，求点P的横坐标的值；

　 (II)是否存在p的值使得以MN为直径的圆恒过焦点F，若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；

　 　 (III)证明：不论取何值，当∠MFN最小时，点P的横坐标总是定值。

17、解：

　 而，即

已知抛物线的焦点为，准线为，与轴相交于点，过且倾斜角为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则四边形的面积等于 　　　　　　

17．已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围。

16.(本小题满分8分)设抛物线y²=4x截直线y=2x+k所得弦长|AB|=3.

(1)求k的值；

(2)以弦AB为底边，x轴上的P点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P的坐标.

解:(1)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),由得4x²+4(k-1)x+k²=0,Δ=16(k-1)²-16k²＞0.

∴k＜.

又由韦达定理有x₁+x₂=1-k,x₁x₂=,

∴|AB|=

=·,

即.∴k=-4.

(2)设x轴上点P(x,0),P到AB的距离为d,则

d=,

S_△PBC=·3·=39，

∴|2x-4|=26.

∴x=15或x=-11.

∴P点为(15，0)或(-11，0).

17．(本小题满分12分)已知p：方程有两个不等的负实根；q：方程

无实根.若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围.