13.已知函数f(x)=3^x,且f^-1(18)=a+2,g(x)=3^ax-4^x的定义域为区间［0，1］.

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；

(3)求g(x)的值域.

解析：(1)∵f^-1(18)=a+2,∴f(a+2)=18,3^a+2=18, 即3^a=2.

∴g(x)=3^ax-4^x=2^x-4^x,x∈［0，1］.

(2)g(x)=2^x-4^x在［0，1］递减.

证明：设x₁,x₂∈［0，1］，且x₁<x₂，

g(x₂)-g(x₁)=，

∵0≤x₁<x₂≤1,

∴<0.

∴g(x₂)<g(x₁)即证.

(3)由(2)知　 -2≤g(x)≤0,g(x)的值域为［-2，0］.

12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(log₂x)=x+(a为常数).

(1)求f(x)的解析式;

(2)当f(x)是偶函数时，试讨论f(x)的单?调性.

解析：(1)设log₂x=t,则x=2^t,

∴f(t)=2^t+,

∴f(x)=2^x+(x∈R).

(2)若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x),

即,

即,

∴(2^x-2^-x)(a-1)=0对x∈R恒成立，∴a=1.∴f(x)=2^x+(x∈R).

设x₁<x₂,则f(x₁)-f(x₂)=

∵x₁<x₂,∴>0.

①若x₁,x₂∈(-∞,0］,则x₁+x₂<0,

∴<1.

∴f(x₁)-f(x₂)>0,f(x₁)>f(x₂).

故函数f(x)在(-∞，0］上是减函数.

②当x₁、x₂∈(0,+∞),则x₁+x₂>0,

∴>1.

∴f(x₁)-f(x₂)<0即f(x₁)<f(x₂).

故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.

或由f(x)是偶函数且在(-∞，0］上是减函数,由对称性可知f(x)在(0,+∞)上是增函数.

11.已知=4,x=a+,y=b+3,试证明:(x-y+(x+y的值与x,y的取值无关.

解析：x+y=(a+3)+(b+3)

=()³,

∴(x+y=()².

同理(x-y=()².

(x-y+(x+y=2()=8.

故(x-y+(x+y的值与x,y的取值无关.

10.函数f(x)=(a>1)的值域是_____________.

答案：(a,+∞)

解析：由a^x>0a^x+1>1,∵a>1,∴y=>a.

9.已知a=0.8^0.7,b=0.8^0.9,C=1.2^0.8,则a,b,c的大小关系为__________________.

答案：c>a>b

解析：c=1.2^0.8>1>0.8^0.7>0.8^0.9.

8.(0.25)^-0.5+-625^0.25=_____________.

答案：0

解析：原式=(0.25=2+3-5=0.

7.(2010浙江杭州二中模拟，10)正实数x₁,x₂及函数f(x)满足4^x=,且f(x₁)+f(x₂)=1,则f(x₁+x₂)的最小值为(　　 )

A.4　　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

答案：C

解析：∵f(x)=，

∴1=f(x₁)+f(x₂)=1-，

即=1,-3≥2=2·,

故≥3,≥9,f(x₁+x₂)=1-≥.

当且仅当,即x₁=x₂=log₄3时等号成立.

6.函数y=a^x在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则a等于(　　 )

A.　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　　　 C.4　　　　　　　　 D.

答案：B

解析：因y=a^x在［0，1］上单调，故a⁰+a¹=3即a=2.

5.若关于x的方程25^-|x+1|-4×5^-|x+1|=m有实数根，则实数m的取值范围是(　　 )

A.m<0　　 　　　　　　B.m≥-4　　　　　　　 C.-4≤m<0　　　　　 D.-3≤m<0

答案：D

解析：令t=5^-|x+1|,则m=t²-4t=(t-2)²-4,又∵0<t≤1　 ∴m关于t在(0，1］上递减,故-3≤m<0.

4.函数y=的值域是(　　 )

A.{y|y<-或y>0}　　　　　　　　　　　　　 B.{y|y<0或y>0}

C.{y|y<-2或y>0}　　　　　　　　　　　 　　　D.{y|y<-或y>2}

答案：A

解析：y=2^x=+2,∵2^x>0,

∴+2>0即y<-或y>0.