11.是否存在实数a，使得函数f(x)=log₂(x+)-a为奇函数，同时使函数g(x)= x(+a)为偶函数？证明你的结论.

证明：若f(x)是奇函数,则f(x)+f(-x)=0,即

log₂(x+)+log₂(-x+)-2a=0.

整理得log₂(x²+2-x²)-2a=0,∴a=.

若g(x)为偶函数,则g(x)-g(-x)=0,即

x(+a)+x(+a)=0.

化简，得x(-1+2a)=0,∴a=.

综上，存在a=满足条件.

10.试构造一个函数f(x),x∈D,使得对一切x∈D有|f(-x)|=|f(x)|恒成立，但是f(x)既不是奇函数又不是偶函数，则f(x)可以是______________.

答案：f(x)=(答案不唯一)

解析：f(x)的图象部分关于原点对称,部分关于y轴对称,故可以用分段函数来构造.

9.若φ(x)与g(x)都是奇函数，且f(x)=aφ(x)+bg(x)+2在(0，+∞)上有最大值5，则f(x)在(-∞，0)上有最____________值，该值等于______________.

答案：小　 -1

解析：设h(x)=f(x)-2,

∴h(x)=aφ(x)+bg(x),

∵φ(x)与g(x)都是奇函数,

∴h(x)是奇函数，由题可知h(x)在(0，+∞)上的最大值为3；故h(x)在(-∞，0)上有最小值，该值为-3，即f(x)-2在(-∞，0)上有最小值为-3,∴f(x)的最小值为-1.

8.(2010全国大联考，14)已知f(x)为偶函数,g(x)是奇函数，且f(x)-g(x)=x²+x-2,则f(x),g(x)分别为___________________.

答案：x²-2,-x

解析：∵f(x)-g(x)=x²+x-2,∴f(x)+g(x)=x²-x-2，故f(x)=x²-2,g(x)=-x.

7.设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于(　　 )

A.0　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.5

答案：C

解析：令x=-1,则f(1)=f(-1)+f(2)，即f(2)=2f(1)=1；令x=3,则f(5)=f(3)+f(2)=［f(1)+f(2)］+f(2)=.

6.已知f(x)是R上的偶函数，且在［0，+∞)上是减函数，f(a)=0(a>0),那么不等式xf(x)<0的解集是(　　 )

A.{x|0<x<a}　　　　　　　　　　　　　　 B.{x|-a<x<0或x>a}

C.{x|-a<x<a}　　　　　　　　　　　　　　 D.{x|x<-a或0<x<a}

答案：B

解析：利用图象法，画出符合条件的函数图象，如下图，由此可知，选项B正确.

5.已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间［0，1］是增函数，则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系为(　　 )

A.f(-6.5)<f(0)<f(-1)　　　　　　　　　　　 B.f(-1)<f(-6.5)<f(0)

C.f(0)<f(-6.5)<f(-1)　　　　　　　　　　　 D.f(-1)<f(0)<f(-6.5)

答案：C

解析：f(-6.5)=f(-3×2-0.5)=f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1).

∵f(x)在［0，1］单调递增，∴f(0)<f(0.5)<f(1)即f(0)<f(-6.5)<f(-1).

4.(2010湖北八校模拟，6)设函数f(x)是定义在R上，周期为3的奇函数，若f(1)<1,?f(2)=,则(　　 )

A.a<且a≠-1　　　　　　　　　　　　 B.-1<a<0

C.a<-1或a>0　　　　　　　　　　　　　 D.-1<a<2

答案：C

解析：由题意得,f(-2)=f(1-3)=f(1)<1,

∴-f(2)<1.即-<1.∴>0,即3a(a+1)>0.∴a<-1或a>0.故选C.

3.若a>0,a≠1,f(x)为偶函数，则g(x)=f(x)·log_a(x+)的图象(　　 )

A.关于x轴对称　　　　　　　　　　　 B.关于y轴对称

C.关于原点对称　　　　　　　　　　　 D.关于直线y=x对称

答案：C

解析：∵g(-x)=f(-x)·log_a(-x+)=f(x)·log_a(x+)^-1=-f(x)·log_a(x+)=-g(x)，

∴g(x)为奇函数.

2.已知f(x)=a-是奇函数，那么实数a的值等于(　　 )

A.1　　　　　　　　 B.-1　　　　　　　　 C.0　　　　　　　　 D.±1

答案：A

解析：f(x)为奇函数f(0)=0a-=0a=1.