3.(2010湖北八校模拟，5)当0<a<1时，关于x的不等式<a^x-2的解集为(　　 )

A.{x|≤x<2}　　　　　　　　　　　　　　 B.{x|≤x<5}

C.{x|2<x≤5}　　　　　　　　　　　　　　　 D.{x|≤x≤5}

答案：B

解析：∵0<a<1,∴>x-2,由x=2满足不等式及x=5不满足不等式，排除A、C、D，选B.

2.指数函数y=(a-1)^x与y=()^x具有不同的单调性，则M=、N=()³与1的大小关系是(　　 )

A.M>1>N　　　　　　 B.1>M>N　　　　　 C.M<1<N　　　　　　 D.M<N<1

答案：A

解析：由已知得a>2,故a-1>,∴M>1>N.

1.若a>1,b>0,且a^b+a^-b=2,则a^b-a^-b的值为(　　 )

A.　　　　　　　 B.2或-2　　　　　　 C.-2　　　　　　　　 D.2

答案：D

解析：(a^b+a^-b)²=8a^2b+a^-2b=6,

∴(a^b-a^-b)²=a^2b+a^-2b-2=4,

又a^b>a^-b(a>1,b>0),∴a^b-a^-b=2.

14.设二次函数f(x)=ax²+bx+1(a、b∈R)

(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求实数a、b的值;

(2)在(1)的条件下，当x∈［-2，2］时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围.

解析：(1)f(-1)=0a-b+1=0,即b=a+1.

又f(x)≥0,对任意实数x均成立，即

将b=a+1代入有(a-1)²≤0,∴a=1,?b=2.

(2)g(x)=f(x)-kx=x²+(2-k)x+1,对称轴为x=-,

因g(x)在［-2，2］上单调，故≤-2或≥2,

∴k的取值范围为k≤-2或k≥6.

13.已知f(x)=x²+ax+b(a,b∈R)的定义域为［-1，1］，记|f(x)|的最大值为M.

(1)不等式M≥能成立吗？试说明理由；

(2)当M=时，求f(x)的解析式.

解析：(1)由已知得：|f(0)|≤M,|f(1)|≤M,|f(-1)|≤M,

因|2f(0)-f(1)-f(-1)|=2,|2f(0)-f(1)-f(-1)|≤2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)|.

故2≤2M+M+M,即M≥.

(2)当M=时，|f(0)|≤,即-≤b≤　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　①

|f(1)|≤,即-≤1+a+b≤.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

|f(-1)|≤,即-≤1-a+b≤.　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

②+③得，-1≤2+2b≤1,所以-≤b≤-.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由①④得b=-,代入②得-1≤a≤0.

将b=-代入③得-1≤-a≤0,即0≤a≤1,所以a=0.所以当M=时，f(x)=x²-.

12.求函数f(x)=4x²-4ax+a²-2a+2在［0，2］上的最值.

解析：f(x)=4(x-)²-2a+2.

(1)当≤0时，即a≤0,f(x)在［0，2］上递增.

∴f(x)_max=f(2)=a²-10a+18.

f(x)_min=f(0)=a²-2a+2.

(2)当≥2时，即a≥4时,f(x)在［0，2］上递减.

∴f(x)_max=f(0)=a²-2a+2.

f(x)_min=f(2)=a²-10a+18.

(3)当0≤≤2时，即0≤a≤4时，

f(x)_min=f()=-2a+2.

①当0≤≤1时，即0≤a≤2时,

f(x)_max=f(2)=a²-10a+18；

②当1≤≤2时，即2≤a≤4时，

f(x)_max=a²-2a+2.

11.已知二次函数的对称轴为x=-,截x轴上的弦长为4，且过点(0，-1)，求二次函数的解析式.

解法一：设二次函数解析式为y=ax²+bx+c,

依题意有x=-=-.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　①

图象过点(0，-1)，则有c=-1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

又截轴的弦长为4，设ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂,由韦达定理有

|x₁-x₂|==4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

由①②③式联立解得a=,b=，c=-1.

∴二次函数解析式为

y=x²+x-1.

解法二：设y=a(x+)²+m,由条件得

-1=2a+m.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

弦长为4,令y=0,(x+)²=-,

则有x=-±.

由|x₁-x₂|=4,

∴2=4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

联立①②式解得a=,m=-2.

∴二次函数解析式为

y=(x+)²-2.

解法三：∵对称轴为x=-,又截x轴的弦长为4，则图象与x轴的交点为x₁=-2-,x₂=2-.

设二次函数为y=a(x+2+)(x-2+),

又(0，-1)在图象上，则有-1=a(2+)(-2+).

∴a=,二次函数解析式为y=x²+x-1.

10.(2010浙江杭州二中模拟，9)设函数f(x)=x|x|+bx+c给出下列四个命题，其中正确的命题是.

①c=0时，y=f(x)是奇函数；②b=0,c>0时，方程f(x)=0只有一个?实根；③y=f(x)的图象关于(0,c)对称；④方程f(x)=0至多有两个实根.

答案：①②③

解析：当c=0时，f(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故①正确；y=x|x|+b|x|图象关于原点对称,向上平移c个单位(若c<0，则向下平移|c|个单位)，得到f(x)=x·|x|+bx+c,故关于点(0,c)对称；当b=0，c>0时，f(x)=x|x|+c=0不可能有非负根，故x<0，∴x=-;令b=-1，c=0,则f(x)=0x=0,±1即④为假.

9.已知二次函数y=ax²+bx+c(a>0)的图象与两坐标轴的交点分别为(-1，0)和(0，-1)，且顶点在y轴的右侧，则b的取值范围是_________________.

答案：-1<b<0

解析：依题意得,f(-1)=a-b+c=0,f(0)=c=-1,->0,∴b=a-1且b<0.

又∵a>0,∴-1<b<0.

8.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如下图，试确定下列各式的正负；b__________,ac__________,a-b+c__________.

答案：>0　 <0　 <0

解析：由题图知：

故b<0,ac<0,a-b+c<0.