3.已知F₁、F₂是椭圆+=1(5<a<10)的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F₁BF₂的面积的最大值是(　　 )

A.　　　　　　　　　 B.　　　　　　 C.100(3-2)　　　　　 D.a²

答案：B

解析：∵5<a<10,∴a>10-a.故=?c·b=·(10-a)=

.

令t=a³-25a²+200a-500.

则t′=3a²-50a+200，

令t′=0,则a=或a=10,又5<a<10,

故当a=时，t取最大值，故△F₁BF₂的最大值为.

2.(2010湖北八校模拟，11)设e₁,e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足·=0，则的值为(　　 )

A.1　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　 C.2　　　　　 　　　　　D.不确定

答案：C

解析：设椭圆方程为=1，双曲线方程为=1,则|PF₁|+|PF₂|=2a，?|PF₁|-|PF₂|=2m,故|PF₁|=a+m,|PF₂|=a-m.又·=0,

∴(a+m)²+(a-m)²=4c²,即a²+m²=2c²,=2.

1.(2010南通九校模拟，11)方程=1所表示的曲线是(　　 )

A.焦点在x轴上的椭圆　　　　　　　　　　　　 B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆　　　　　　　　　　　　 D.焦点在y轴上的双曲线

答案：C

解析：∵<<2<π,∴sin-sin2>0,cos-cos2>0，

又cos-cos2-(sin-sin2)=·sin(2+)-cos(2+)>0，

故方程表示焦点在y轴上的椭圆.

14.求证：向量、、终点A、B、C共线的充要条件是存在实数λ,μ且λ+μ=1,使得=λ+μ.

证明：必要性：若，，的终点A、B、C三点共线，则∥，故存在实数m，使得=m.

又=-，=-，故

-=m(-).

∴=-m+(1+m).

令λ=-m,μ=1+m,则存在λ,μ且λ+μ=1,

使得=λ+μ.

充分性：若=λ+μ,其中λ+μ=1,

则μ=1-λ,=λ+(1-λ),从而有

-=λ(-),即=λ.

∴A、B、C三点共线，即向量、、的终点在一条直线上.

13.已知向量a=2e₁-3e₂，b=2e₁+3e₂，其中e₁与e₂不共线，向量c=2e₁-9e₂，问是否存在这样的实数λ,μ使向量d=λa+μb与c共线？

解析：d=λa+μb=(2λ+2μ)e₁+(-3λ+3μ)e₂,

要d与c共线，则应有实数k，使d=kc，

即得λ=-2μ.

故存在这样的实数λ,μ,只要λ=-2μ,就能使d与c共线.

12.如右图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD，求证：M、N、C三点共线.

证明：设=e₁，=e₂，则

=+=-e₁+e₂，

==-e₁+e₂.

=e₁，==e₂，=+=e₁+e₂，

=+=e₁-e₁+e₂=e₁+e₂=(e₁+e₂).

故=，故M、N、C三点共线.

11.如右图，若ABCD是一个等腰梯形，AB∥CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示和.

解析：作CE∥DA交于E，作CF⊥AB交AB于F.

∵AB∥DC，CD∥DA，

∴AECD是平行四边形,

∴=-=-b.

∵=-=-=a-c，

∴=--=b+c-a.

==+=+=+(-)

=-+(-)

=-b-c+a+(c-a)

=a-c-b.

10.如右图，若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，AD=b，则=___________.

答案：b-a

解析：=+=+=b-a.

9.当k=___________时，向量a=e₁-4e₂，b=2e₁+ke₂共线(其中向量e₁，e₂不共线).

答案：-8

解析：设a=λb，由平面向量基本定理得λ=2,k=-8.

8.把同一平面内所有模不小于2，不大于4的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形是_________________________________.

答案：以O为圆心，以2及4为半径的圆夹成圆环面(包括周界).