7.2010全国大联考，9 函数f(x)=-x²-2x在［a,b］上的值域是［-3，1］，则a+b的取值集合为(　　 )

A.{-4，0}　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.［-4，-2］

C.［-2，0］　　　　　　　 　　　　　　　　　D.［-4，0］

答案：D

解析：因f(x)=-(x+1)²+1作其图象知-3≤a≤-1,-1≤b≤1，

∴-4≤a+b≤0.

6.设a>0,f(x)=ax²+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x₀,f(x₀))处切线的倾斜角的取值范围为［0，］,则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为(　　 )

A.［0，］　　　　　　　　　　　　　　　　 B.［0，］

C.［0，||］　　　　　　　　　　　　　　　 D.［0，||］

答案：B

解析：∵f′(x₀)=2ax₀+b∈［0，1］，∴P到对称轴x=-的距离为|x₀+|=|2ax₀+b|∈［0，］.

5.方程x²+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2，则m的取值范围是(　　 )

A.(-5，-4]　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(-∞,-4)

C.(-∞,-2)　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(-∞,-5)∪(-5,-4)

答案：A

解析：由下图知

-5<m≤-4.

4.对于定义在R上的函数f(x)，若实数x₀满足f(x₀)=x₀,则称x₀是函数f(x)的一个不动点.函数f(x)=6x-6x²的不动点是(　　 )

A.或0　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.或0　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：A

解析：由已知x₀=6x₀-6x₀²x₀=0或x₀=.

3.已知二次函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b)，并且α,β(α<β)是方程f(x)=0的两根，则a、b、α、β的大小关系是(　　 )

A.α<a<b<β　　　　　　　　　　　　　　　 B.a<α<β<b

C.a<α<b<β　　　　　　　　　　　　　　　 D.α<a<β<b

答案：A

解析：∵(x-a)(x-b)=2>0,∴x<a或x>b,即α<a或β>b.

2.设函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0,x∈R),对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)成立，在函数值f(-1)、f(1)、f(2)、f(5)中，最小的一个不可能是(　　 )

A.f(-1)　　　　　　　　 B.f(1)　　　　　　　 C.f(2)　　　　　　　　 D.f(5)

答案：B

解析：由f(2+t)=f(2-t)知函数y=f(x)的图象对称轴为x=2.

当a>0时，易知f(-1)>f(1)>f(2),f(5)>f(2);

当a<0时，易知f(-1)<f(1)<f(2),f(5)<f(2).

故最小的不可能是f(1).

1.函数y=ax²+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是(　　 )

答案：D

解析：抛物线过原点排除A，又直线与抛物线都过点(-,0)，排除B、C，选D.

14.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f(a·b)=af(b)+bf(a).

(1)求f(0)、f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.

解析：(1)f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0,

由f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1),得f(1)=0.

(2)f(x)是奇函数.

证明：因为f(1)=f［(-1)²］=-f(-1)-f(-1)=0,

所以f(-1)=0,f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).因此,f(x)为奇函数.

13.如果偶函数f(x)在x∈［0，+∞］上是增函数，且f()=0,求不等式f(log_ax)>0(0<a≠1)的解集.

解析：∵f()=0,∴f(log_ax)>f().

∵偶函数f(x)在x∈［0，+∞］上是增函数,

∴f(|log_ax|)>f(),∴|log_ax|>.

即log_ax>或log_ax<-.

①当0<a<1时，0<x<或x>;

②当a>1时,x>或0<x<.

12.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁,x₂∈［0，］都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂).

(1)设f(1)=2,求f(),f();

(2)证明f(x)是周期函数.

(1)解析：令x₁=x₂=.

则f(x)=f(+)=f²()≥0.

再令x₁=x₂=,∴f(1)=f²().

∴f()=；

令x₁=x₂=,∴f()=f²().

∴f()=.

(2)证明：∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x).

又因f(x)的图象关于直线x=1对称，

∴f(x+2)=f(-x),

∴f(x+2)=f(x).

即f(x)是周期为2的周期函数.