9.(2010湖北八校模拟，14)数列{a_n}中，S_n是前n项和，若a₁=1,a_n+1=S_n(n≥1),则a_n=__________.

[答案]a_n=

[解析]∵a_n+1=S_n,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∴a_n=S_n-1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①-②得a_n+1-a_n=a_n,

∴(n≥2).

∵a₂=S₁=×1=,

∴当n≥2时，a_n=×()^n-2.

∴a_n=

8.已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-5+9-13+17-21+…+(-1)^n-1(4n-3),那么S₁₅+S₂₂-S₃₁的值为_________________.

[答案]-76

[解析]S₁₅=1-5+9-13…+57=1+(9-5)+(17-13)+…+(57-53)=29,

同理可得：S₂₂=-44，S₃₁=61,

∴S₁₅+S₂₂-S₃₁=-76.

7.(2010全国大联考，10)已知数列{a_n}满足a_n=则{a_n}的前?2k-1项的和为(　　 )

A.k²-k+1-　　　　　　　　　　　　　　 B.k²+k+1-

C.　　　　　　　　　 D.

[答案]A

[解析]取k=1，S₁=，排除B、C；取k=2,S₃=,排除D。

6.S_n=1++…+等于(　　 )

A.　　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

[答案]B

[解析]a_n=,

∴S_n=2［(1-)+(-)+…+()］

=2(1-)

=.

5.数列1，，，，…，的前n项和等于(　　 )

A.S_n=3--　　　　　　　　　　　　　　 B.S_n=3-^-1-

C.S_n=3--　　　　　　　　　　　　　　 D.S_n=3-n2ⁿ-

[答案]A

[解析]令S_n=1+++…+,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　①

则S_n=++…+.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①-②得

∴S_n=1++…+

=1+

=.

∴S_n=3--,故选A.

或者用特殊法.

4.数列1，(1+2)，(1+2+2²)，…，(1+2+2²+…+2^n-1),…的前n项和等于(　　 )

A.2ⁿ B.2ⁿ-n　　　　　　　　 C.2ⁿ⁺¹-n-2　　　　　　　　 D.n·2ⁿ

[答案]C

[解析]令n=1,排除A、D，又令n=2，排除B.选C.

3.数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-1,令b_n=,则数列{b_n}的前n项和为(　　 )

A.n² B.n(n+2)　　　　　　 C.n(n+1)　　　　　　　　　 D.n(2n+1)

[答案]B

[解析]∵a_n=4n-1,∴数列{a_n}是等差数列，且a₁=4-1=3,

∴b_n==2n+1.

显然数列{b_n}是等差数列，且b₁=2+1=3，

它的前n项和S_n=b₁+b₂+…+b_n==n(n+2).

2.数列{a_n}的通项公式是a_n=，若前n项和为10，则项数n为(　　 )

A.11　　　　　　　　 B.99　　　　　　　　 C.120　　　　　　　　 D.121

[答案]C

[解析]因a_n=，

故S_n=(-1)+(-)+…+()=-1,

由S_n=10,故n=120.

1.数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-3n+1,则a₄+a₅+a₆+…+a₁₀等于(　　 )

A.171　　　　　　　 B.21　　　　　　　 C.10　　　　　　　　　 D.161

[答案]D

[解析]原式=S₁₀-S₃=2×10²-3×10-(2×3²-3×3)=161.

14.(2010江苏金陵中学模拟，18)已知函数f(x)=a^x-2-1(a>0,a≠1).

(1)求函数f(x)的定义域、值域；

(2)是否存在实数a，使得函数f(x)满足：对于区间(2,+∞)上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0.

解析：(1)由4-a^x≥0,得a^x≤4.

当a>1时，x≤log_a4;

当0<a<1时，x≥log_a4.

即当a>1时，f(x)的定义域为(-∞,log_a4］;

当0<a<1时，f(x)的定义域为［log_a4,+∞).

令t=,则0≤t<2,且a^x=?4-t²,?∴f(x)=4-t²-2t-1=-(t+1)²+4,

当t≥0时，f(x)是t的单调减函数,

∴f(2)<f(x)≤f(0),即-5<?f(x)≤3.∴函数f(x)的值域是(-5，3］.

(2)若存在实数a使得对于区间(2，+∞)上使函数f(x)有意义的一切x,都有?f(x)≥0,则区间(2,+∞)是定义域的子集.由(1)知，a>1不满足条件；若0<a<1,则log_a4<2,且f(x)是x的减函数.

当x>2时，a^x<a².由于0<a²<1,

∴t=.

∴f(x)<0,即f(x)≥0不成立.

综上，满足条件的a的取值范围是.