(四)课后小结

(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；

(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；

(3)与已知直线平行的直线的设法；

(4)与已知直线垂直的直线的设法．

(三)例题

例1　 已知两条直线

l1：　 2x-4y+7=0，　 L2：　 x-2y+5=0．

求证：l1∥l2．

证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合．

证明：把l1、l2的方程写成斜截式：

∴两直线不相交．

∵两直线不重合，

∴l1∥l2．

例2求过点　 A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．

即　 2x+3y+10= 　0．

解法2　 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线方程为

2x+3y+10=0．

例3　 已知两条直线

l1：　 2x-4y+7=0，　 l2：　 2x+y-5=0．

求证：l1⊥l2．

∴l1⊥l2．

例4　 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．

解法1　 已知直线的斜率k1=-2．

∵所求直线与已知直线垂直，

根据点斜式得所求直线的方程是

就是　 x-2y=0．

解法2　 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是

x-2y=0．

(二)斜率存在时两直线的平行与垂直

设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是

l1：　 y=k1x+b1；　 l2：　 y=k2x+b2．

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．

我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．

∴tgα1=tgα2．

即　 k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，　 0°≤α＜180°，

∴α1=α2．

∵两直线不重合，

∴l1∥l2．

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即

eq \x( )

要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

现在研究两条直线垂直的情形．

如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

可以推出　 α1=90°+α2．

l1⊥l2．

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

eq \x( )

(一)特殊情况下的两直线平行与垂直

这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

提问、讨论、解答．

3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．

2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．

1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．

(三)学科渗透点

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

(二)能力训练点

通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．