6．设数列{a_n}是首项为1公比为3的等比数列，把{a_n}中的每一项都减去2后，得到一个新数列{b_n}，{b_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，下列结论正确的是(　)

A．b_n+1＝3b_n，且S_n＝(3ⁿ－1)

B．b_n+1＝3b_n－2，且S_n＝(3ⁿ－1)

C．b_n+1＝3b_n+4，且S_n＝(3ⁿ－1)－2n

D．b_n+1＝3b_n－4，且S_n＝(3ⁿ－1)－2n

解析：因为数列{a_n}是首项为1公比为3的等比数列，所以数列{a_n}的通项公式a_n＝3^n－1，则依题意得，数列{b_n}的通项公式为b_n＝3^n－1－2，

∴b_n+1＝3ⁿ－2,3b_n＝3(3^n－1－2)＝3ⁿ－6，∴b_n+1＝3b_n+4.

{b_n}的前n项和为：

S_n＝(1－2)+(3¹－2)+(3²－2)+(3³－2)+…+(3^n－1－2)＝(1+3¹+3²+3³+…+3^n－1)－2n＝－2n

＝(3ⁿ－1)－2n.

答案：C

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－6n，则{|a_n|}的前n项和T_n＝(　)

A．6n－n²　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．n²－6n+18

C. 　　　　　　　 D.

解析：由S_n＝n²－6n得{a_n}是等差数列，且首项为－5，公差为2.

∴a_n＝－5+(n－1)×2＝2n－7，

∴n≤3时，a_n＜0，n＞3时a_n＞0，

∴T_n＝.

答案：C

4．已知函数f(x)＝x²+bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列{}的前n项和为S_n，则S_{2 010}的值为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　　　　　 　　　 D.

解析：∵f′(x)＝2x+b，

∴f′(1)＝2+b＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x²+x，

∴＝＝－，

∴S_{2 010}＝1－+－+…+－

＝1－＝.

答案：D

3．1－4+9－16+…+(－1)ⁿ⁺¹n²等于(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．－

C．(－1)ⁿ⁺¹　 　　　　　　　　　　 D．以上答案均不对

解析：对n赋值验证，只有C正确．

答案：C

2．数列{a_n}的通项公式a_n＝，若前n项的和为10，则项数为(　)

A．11　 　　　　　　　　　　　　　　 B．99

C．120　 　　　　　　　　　　　　　 D．121

解析：∵a_n＝＝－，

∴S_n＝－1＝10，∴n＝120.

答案：C

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n＝an²+bn(a、b∈R)，且S₂₅＝100，则a₁₂+a₁₄等于(　)

A．16　　　　　 　　 B．8

C．4　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．不确定

解析：由数列{a_n}的前n项和S_n＝an²+bn(a、b∈R)，可得数列{a_n}是等差数列，S₂₅＝＝100，解得a₁+a₂₅＝8，所以a₁+a₂₅＝a₁₂+a₁₄＝8.

答案：B

12．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a_n＝(单位：万元，n∈N^*)，记第n天的利润率b_n＝，例如b₃＝.

(1)求b₁，b₂的值；

(2)求第n天的利润率b_n；

(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．

解：(1)当n＝1时，b₁＝；

当n＝2时，b₂＝.

(2)当1≤n≤25时，a₁＝a₂＝…＝a_n－1＝a_n＝1.

∴b_n＝＝＝.

当26≤n≤60时，

b_n＝

＝＝，

∴第n天的利润率b_n＝(n∈N^*)

(3)当1≤n≤25时，b_n＝是递减数列，此时b_n的最大值为b₁＝；

当26≤n≤60时，

b_n＝＝≤

＝.

又∵>，∴n＝1时，(b_n)_max＝.

∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为.

11．已知函数f(x)＝a^x的图象过点(1，)，且点(n－1，)(n∈N^*)在函数f(x)＝a^x的图象上．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)令b_n＝a_n+1－a_n，若数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n<5.

解：(1)∵函数f(x)＝a^x的图象过点(1，)，

∴a＝，f(x)＝()^x.

又点(n－1，)(n∈N^*)在函数f(x)＝a^x的图象上，从而＝，即a_n＝.

(2)由b_n＝－＝得，

S_n＝++…+，

则S_n＝++…++，

两式相减得：S_n＝+2(++…+)－，

∴S_n＝5－，

∴S_n<5.

10．已知二次函数f(x)＝x²－(m+2)x+m+2(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在x₁，x₂，使得x₁+x₂＝0，但f(x₁)≠f(x₂)．设数列{a_n}的前n项和S_n＝f(n)．

(1)求f(x)的表达式；

(2)求数列{a_n}的通项公式．

解：(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素，

∴Δ＝[－(m+2)]²－4(m+2)＝0⇒m＝－2或m＝2.

当m＝－2时，函数f(x)＝x²是一个偶函数，故不存在x₁，x₂，使得x₁+x₂＝0，且f(x₁)≠f(x₂)．

当m＝2时，函数f(x)＝x²－4x+4，在定义域内存在x₁，x₂，使得x₁+x₂＝0，且f(x₁)≠f(x₂)，

故f(x)＝x²－4x+4.

(2)由(1)可知S_n＝n²－4n+4，当n＝1时，a₁＝S₁＝1，

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(n²－4n+4)－[(n－1)²－4(n－1)+4]＝2n－5，

∴a_n＝.

9．已知S_n是等差数列{a_n}(n∈N^*)的前n项和，且S₆>S₇>S₅，有下列四个命题：

(1)d<0；(2)S₁₁>0；(3)S₁₂<0；(4)数列{S_n}中的最大项为S₁₁，其中正确命题的序号是________．

解析：由S₆>S₇>S₅，得a₇＝S₇－S₆<0，a₆+a₇＝S₇－S₅>0，所以a₆>0，a₇<0，所以d<0，

所以(1)正确；

又S₁₁＝11a₆>0，所以(2)也正确；

而S₁₂＝6(a₁+a₁₂)＝6(a₆+a₇)>0，所以(3)不正确；

由上知，数列{S_n}中的最大项应为S₆，所以(4)也不正确，所以正确命题的序号是(1)(2)．

答案：(1)(2)