8.设P₁、P₂是抛物线x²=y的一条弦，如果P₁P₂的垂直平分线的方程为y=-x+3，那么弦P₁P₂所在的直线方程是____________________.

答案：y=x+2

解析：设P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂),显然=1,则P₁P₂所在直线方程为y=x+b,

由

有x²-x-b=0,

于是x₁+x₂=1,则P₁P₂的中点是P(),

P₁P₂所在直线方程又可为

y-=x-.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　①

又点P在直线y=-x+3上,即

+3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

当②代入①得y=x-(x₁+x₂)+3=x+2.

7.(2010东北三校联考,9)过抛物线y²=ax(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于(　　 )

A.2a　　　　　　　　　　 B.4a　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　 D.

答案：D

解析：(特殊法)令AB⊥x轴，则x_a=x_b=,∴m=n=|y_a|=.

6.(2010湖北黄冈一模，11)过点M(-2，0)的直线m与椭圆+y²=1交于P₁、P₂两点，线段P₁P₂的中点为P，设直线m的斜率为k₁(k≠0)，直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂的值为(　　 )

A.2　　　　　　　　　 B.-2　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　 D.-

答案：D

解析：将y=k₁(x+2)代入x²+2y²=2中有：(1+2k₁²)x²+8k₁²x+8k₁²-2=0.

故P(-).

∴k₂=-,k₁·k₂=-.

5.抛物线y²=2px与直线ax+y-4=0交于两点A、B，其中点A的坐标是(1，2).若抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于(　　 )

A.5　　　　　　　　　 B.6　　　　　　　　　　 C.3　　　　　　　　　 D.7

答案：D

解析：由点A在抛物线和直线上知p=2,a=2,故抛物线为y²=4x,直线为2x+y-4=0,可联立解得B(4,-4),F(1,0),故|AF|+|BF|=2+5=7.

4.对于抛物线C：y²=4x，我们称满足y₀²<4x₀的点M(x₀,y₀)在抛物线的内部，若点M(x₀,y₀)在抛物线的内部，则直线l:y₀y=2(x+x₀)与C(　　 )

A.恰有一个公共点　　　 　　　　　　　　　　　B.恰有两个公共点

C.没有公共点　　　　　　　　　　　　　　　　 D.可能有一个公共点也可能有两个公共点

答案：C

解析：联立方程组

消去x,得y²-2y₀y+4x₀=0,

Δ=4y₀²-16x₀=4(y₀²-4x₀),

∵M(x₀,y₀)在抛物线内，∴y₀²<4x₀.

∴Δ<0,∴无公共点.

3.设A为双曲线=1的右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点(　　 )

A.(，0)　　　　　 B.(，0)　　　　 C.(4，0)　　　　　 D.(，0)

答案：A

解析：(特殊法)设A(5,),则B(5,-),C(,-).故k_AC=，直线AC为y-=(x-5),即：10x-4y-41=0，与x轴交点为(，0)，排除B、C、D，选A.

2.方程y=ax+b和a²x²+y²=b²(a>b>1)在同一坐标系中的图形可能是(　　 )

答案：C

解析：∵a>0,b>0,∴直线y=ax+b过一、三象限且在y轴上的截距为正，排除B、D，又直线过点(0,b)，(-,0),∴b>|-|.

1.如果椭圆=1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是(　　 )

A.x-2y=0　　　　　　 B.x+2y-4=0　　　　　　 C.2x+3y-12=0　　　　 D.x+2y-8=0

答案：D

解析：由点在直线上排除B、C，若为A，则直线与椭圆相交的弦不被点(4，2)平分，故选D.

14.设a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.

(1)若=a，=tb, =(a+b),则当t为何值时，A、B、C三点共线？

(2)若|a|=|b|，且a与b的夹角为60°，则t为何值时，|a-tb|的值最小？

解析：(1)∵A、B、C三点共线，

∴=λ.

∴tb-a=λ［(a+b)-a］=λb-λa

∴　 ∴λ=,t=.

(2)∵a·b=|a||b|cos60°=|a|²,

∴|a-tb|²=|a|²-2t(a·b)+t²|b|²

=|a|²-t|a|²+t²|a|²

=|a|²［(t-)²+］.

∴当t=时，|a-tb|有最小值|a|.

13.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.

(1)求证：(a-b)⊥c;

(2)若|ka+b+c|＞1(k∈R),求k的取值范围.

(1)证明：(a-b)·c=a·c-b·c

=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0,

∴(a-b)⊥c.

(2)解析：|ka+b+c|＞1|ka+b+c|²＞1k²a²+b²+c²+2ka·b+2ka·c+2b·c＞1.

∵|a|=|b|=|c|=1,且a，b，c夹角均为120°，

∴a²=b²=c²=1,a·b=b·c=a·c=-.

∴k²-2k＞0,k＞2或k＜0.