14.对于区间［m,n］上有意义的两个函数f(x)与?g(x),如果对任意的x∈［m,n］,均有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)与g(x)在［m,n］上是接近的.否则称f(x)与g(x)在［m,n］上是非接近的.现有两个函数f₁(x)=log_a(x-3a)与f₂(x)=log_a(a＞0且a≠1)，给定区间［a+2,a+3］.

(1)若f₁(x)与f₂(x)在给定区间［a+2,a+3］上都有意义，求a的取值范围;

(2)讨论f₁(x)与f₂(x)在给定区间［a+2,a+3］上是否接近的.

解析：(1)由得0＜a＜1.

(2)|f₁(x)-f₂(x)|=|log_a［(x-3a)?(x-a)］|,

令|f₁(x)-f₂(x)|≤1,

得-1≤log_a［(x-3a)(x-a)］≤1.(*)

因为0＜a＜1,所以［a+2,a+3］在直线x=2a的右侧.

所以g(x)=log_a［(x-3a)(x-a)］在［a+2,a+3］上为减函数.

所以g(x)_min=g(a+3)=log_a(9-6a),

g(x)_max=g(a+2)=log_a(4-4a).

于是(*)成立的充要条件是

∴0＜a＜.

所以当a∈(0，)时，f₁(x)与?f₂(x)是接近的;在a∈(,1)∪(1,?+∞)上是非接近的.

13.(1)已知|a|＜1,|b|＜1,求证:||＞1;

(2)求实数λ的取值范围，使不等式||＞1对满足|a＜1|,|b|＜1的一切实数a、b恒?成立.

(1)证明：∵|a|＜1,|b|＜1,∴a²＜1,b²＜1.

即(a²-1)(b²-1)＞0

a²b²+1＞a²+b²(ab-1)²＞(a-b)²

(1-ab)＞|a-b|∴＞1，即||＞1.

(2)解法一：||＞1

|1-abλ|＞|aλ-b|

1-2λab+a²b²λ²＞a²λ²+b²-2λab

a²b²λ²+1-a²λ²-b²＞0

(a²λ²-1)(b²-1)＞0.

∵|b|＜1,∴a²λ²-1＜0.

即λ²＜又＞1.

∴λ²≤1,即-1≤λ≤1.

故当-1≤λ≤1时，满足题意.

解法二：由(1)的过程知|a|＜1,|b|＜1是||＞1的充要条件.

故|λa|≤1,即-1≤λ≤1.

12.已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)解关于x的不等式：f(x)≥2a².

解析：(1)当a=0时，

f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),

∴f(x)是奇函数.

当a≠0时，f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.

故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).

∴f(x)是非奇非偶函数.

(2)由题设知x|x-a|≥2a²,

∴原不等式等价于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

或　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①得x∈.

由②得

当a=0时，x≥0；

当a＞0时，

∴x≥2a.

当a＜0时，即x≥-a.

综上a≥0时，f(x)≥2a²的解集为{x|x≥2a};

a＜0时，f(x)≥2a²的解集为{x|x≥-a}.

11.设m是|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：||＜2.

证明：∵m是|a|,|b|,1中最大的那一个数，

∴m≥|a|,m≥|b|,m≥1,

且有|x|＞m≥|a|,|x|＞m≥|b|,|x|＞m≥1,∴|x²|＞b,且

||≤||+||==2，即原不等式成立.

10.不等式|x²-8x+a|≤x-4的解集为［4，5］，则实数a的值等于_________________.

答案：16

解析：令x=4,5代入|x²-8x+a|=x-4知a=16.

9.设f(x)=，则不等式|f^-1(x)|＞1的解集为__________________.

答案：{x|x＜0且x≠-1}

解析：f^-1(x)=＞1,

同解于

∴x＜0且x≠-1.

8.不等式|-x|＞-x的解集为___________________.

答案：{x|x≥且x≠1}

解析：在x≥的前提下，不等式又暗示了-x＜0.

7.(2010湖北黄冈中学模拟，11)已知f(x)在R上是减函数，且它的反函数为f^-1(x),如果A(-2,1)与B(2,-3)是y=f(x)图象上的两点，则不等式|f^-1()|＜2的解集是(　　 )

A.{x|x＞}　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.{x|0＜x＜}

C.{x|x＜0}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

答案：A

解析：f^-1(x)是减函数,且f^-1(1)=-2，f^-1(-3)=2,又-2＜f^-1()＜2,故-3＜＜1,解之得x＞.

6.若f(x)=|lgx|,0＜a＜b＜c,f(a)＞f(c)＞f(b),则下列关系正确的是(　　 )

A.ac+1＜a+c　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　B.ac+1＞a+c

C.ac+1=a+c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.ab＞1

答案：A

解析：若0＜a＜b＜c,且lg(a)＜lg(b)＜lg(c),

又因为|lga|＞|lgc|＞|lgb|＞0,

ac+1-(a+c)=ac+1-a-c=(c-1)(a-1)＜0,

∴ac+1＜a+c.

5.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立，是a的最大值为(　　 )

A.0　　　　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　　　 C.-1　　　　　　　 D.2

答案：B

解析：因|x-2|+|x-a|≥|(x-2)-(x-a)|=|a-2|,故|a-2|≥aa≤1.