12.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)且a，b满足|ka+b|=|a-kb|(k＞0).

(1)用k表示a，b的数量积；

(2)求a·b的最小值及此时a，b的夹角θ.

解析：(1)|a|=1,|b|=1,

|ka+b|²=3|a-kb|²,

k²a²+2ka·b+b²=3a²+3k²b²-6ka·b，8ka·b=2k²+2,a·b=.

(2)k＞0,

a·b==(k+)≥,

当k=1时等号成立.

此时a·b的最小值为，夹角为θ=.

11.已知向量a=(cosx,sinx),b=(sin2x,1-cos2x),c=(0,1),x∈(0,π).

(1)向量a、b是否共线？请说明理由；

(2)求函数f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值.

解析：(1)a与b共线.因cosx·(1-cos2x)-sinx·sin2x=cosx·2sin²x-2sin²x·cosx=0.

(2)|b|=2|sinx|,

∵x∈(0,π),∴sinx＞0,|b|=2sinx.

又(a+b)·c=sinx+2sin²x,

∴f(x)=-2sin²x+sinx

=-2(sinx-)²+.

∵x∈(0,π),

∴当sinx=时，函数f(x)取得最大值.

10.已知△ABC的面积为，||=3，||=5，·＜0，则||=____________.

答案：7

解析：S_△=||·||·sinA=sinA=,又·＜0,即A＞90°,故A=120°.

∴||²=|-|²=||²+||²-2||||cosA=3²+5²+3×5=49,?||=7.

9.已知i，j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+λj,且a与b夹角为锐角，则实数λ取值范围为________________________.

答案：λ＜且λ≠-2

解析：由a与b夹角为锐角有可得.

8.(2010江苏南京一模，14)若|a|=1，|b|=2，c=a-b，且c⊥a,则向量a与b的夹角为___________.

答案：

解析：c⊥a(a-b)a=0,a·b=a²=1,

∴cos〈a、b〉==，故a与b夹角为.

7.已知向量=(2，0)，向量=(2，2)，向量=(cosα,sinα),则向量与向量的夹角的范围为(　　 )

A.［0,］　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.［,］

C.［,］　　　 　　　　　　　　　　　　　　D.［π,］

答案：D

解析：=(x,y),=-=(x-2,y-2),

x=2+cosα,y=2+sinα,

·=2x,cosθ=.

又(x-2)²+(y-2)²=()²,设y=kx,

=.k=2±,即()²最大为(2+)²，最小为(2-)²≤cosθ≤,θ∈［,］

6.已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°，则直线x·cosα-y·sinα+=0与圆(x-cosβ)²+(y+sinβ)²=的位置关系是(　　 )

A.相切　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.相交

C.相离　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.随α、β而定

答案：C

解析：由d==|cos(α-β)+|,又因为a·b=6cosαcosβ+6sinαsinβ=|a||b|cos60°.

故有cos(α-β)==.

∴d=1＞.

5.(2010湖南十校联考，3)已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于(　　 )

A.25　　　　　　　　　　　　　 B.24　　　　　　　　 C.-25　　　　　　　 D.-24

答案：C

解析：由已知得cosA=,cosB=0,cosC=.

原式=-||||cosB-||||cosC-||||cosA

=0-4×5×-5×3×=-25.

4.(2010天津和平区一模，4)已知a+b+c=0，|a|=1，|b|=2，|c|=，则a·b+b·c+c·a的值为(　　 )

A.7　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　 C.-7　　　　　　　　 D.-

答案：D

解析：2(a·b+b·c+c·a)=a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=-(a²+b²+c²)=-(1+4+2)=-7，

∴a·b+b·c+c·a=-72.

3.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且3a+2b与λa-b垂直，则λ等于(　　 )

A.　　　　　　　　　　　　 B.-　　　　　　　 C.±　　　　　　　　 D.1

答案：A

解析：因a⊥b，故a·b=0，又(3a+2b)(λa-b)=0.故3λa²-2b²=0,λ=.