2.若a=(2，3)，b=(-4，7)，则a在b方向上的投影为(　　 )

A.　　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　 D.

答案：C

解析：a在b方向上的射影为.

1.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，则向量a的模为(　　 )

A.2　　　　　　　　　　 B.4　　　　　　　　　 C.6　　　　　　　　　 D.

答案：C

解析：由已知得a²-a·b-6b²=-72.故|a|²-2|a|-24=0，|a|=6或-4(舍).

13.如右图，M是抛物线y²=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?|MA|=|MB|.

(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.

(1)证明：设M(y₀²,y₀)，直线ME的斜率为?k(k>0),则直线MF的斜率为-k，

直线ME的方程为y-y₀=k(x-y₀²).

由得

ky²-y+y₀(1-ky₀)=0.

解得y₀·y_E=,

∴y_E=,∴x_E=.

同理可得y_F=,∴x_F=.

∴k_EF=(定值).

(2)解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由(1)得E((1-y₀)²,(1-y₀))F((1+y₀)²,-(1+y₀)).

设重心G(x,y)，则有

消去参数y₀,得y²= (x>0).

12.已知抛物线y²=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论？

解析：(1)当AB⊥x轴时，m=n=p，

∴=.

(2)当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x-),

A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),|AF|=m,|BF|=n,

∴m=+x₁,n=+x₂.

将AB方程代入抛物线方程，得

k²x²-(k²p+2p)x+=0,

∴

∴=

=.

本题若推广到椭圆，则有=(e是椭圆的离心率)；若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有=(e为双曲线的离心率).

11.已知抛物线y²=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.

(1)求证：|AB|=;

(2)求|AB|的最小值.

(1)证明：如右图，焦点F的坐标为F(,0).

设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·(x-),与抛物线方程联立，消去y并整理，得

tan²θ·x²-(2p+ptan²θ)x+=0.

此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x₁+x₂=.

设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x₁+x₂+p=.

(2)解析：因|AB|=的定义域是0<θ<π，又sin²θ≤1，

所以，当θ=时，|AB|有最小值2p.

10.(2010湖北十一校大联考，16)设PQ是抛物线y²=2px(p>0)上过焦点F的一条弦，l是抛物线的准线，给定下列命题：①以PF为直径的圆与y轴相切；②以QF为直径的圆与y轴相切；③以PQ为直径的圆与准线l相切；④以PF为直径的圆与y轴相离；⑤以QF为直径的圆与y轴相交.则其中所有正确命题的序号是：________________________.

答案：①②③

解析：设P(x₁,y₁),PF中点为A(),A到y轴的距离为|PF|,故①正确；同理②也正确；又|PQ|=x₁+x₂+p，PQ的中点B()到准线的距离为,故③正确，④⑤错误.

9.过抛物线y²=4x的焦点F，作倾角为的弦AB，则AB的长是_____________.

答案：

解析：利用结论|AB|=.

8.过点(0，2)与抛物线y²=8x只有一个公共点的直线有_____________条.

答案：3

解析：两条切线和一条平行于对称轴的直线，应填3.

7.(2010北京东城区一模，8)已知点P是抛物线y²=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A(，4)，则|PA|+|PM|的最小值是(　　 )

A.　　　　　　　　　　 B.4　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　 D.5

答案：C

解析：|PA|+|PM|=|PA|+|PM|+-=|PA|+|PF|-≥|AF|-=-=.