13.(2010湖北八校摸拟，21)P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率e=,左焦点F(-1，0)的椭圆上，已知与共线，与共线，·=0，求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.

解析：椭圆方程为+y²=1.

∵·=0，PQ⊥MN.

设PQ的方程为ky=x+1,代入椭圆方程消去x得

(2+k²)y²-2ky-1=0.

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，则

|PQ|=|y₁-y₂|

=

=

=.

(1)当k≠0时，MN的斜率为-,同理可得

|MN|=,

故四边形面积S=|PQ||MN|=.

令u=k²+,则u≥2,即S==2(1-).

当k=±1时，u=2,S=.且S是以u为自变量的增函数，∴≤S<2.

(2)当k=0时，MN为椭圆的长轴，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ||MN|=2.

综合(1)(2)知，四边形PQMN面积的最大值为2，最小值为.

12.(2010江苏苏州一模，22)已知点P是圆x²+y²=1上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设=+，

(1)求点M的轨迹方程；

(2)求向量和夹角的最大值，并求此时P点的坐标.

解析：(1)设P(x₀,y₀),M(x,y),

则=(x₀,y₀),

=(x₀,0),=+=(2x₀,y₀).

∴

∵x₀²+y₀²=1,

∴+y²=1.

(2)设向量与的夹角为α,则

cosα=.

令t=3x₀²+1,

则cosα=≥.

当且仅当t=2时，即P点坐标为(±，±)时，等号成立.

∴与夹角的最大值是arccos.

11.(2010湖北黄冈一模，22)已知△OFQ的面积为26，且·=m.

(1)设<m<4，求向量与的夹角θ正切值的取值范围；

(2)设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q(如右图)，||=c，m(-1)c²,当?||取得最小值时，求此双曲线的方程.

解析：(1)∵

∴tanθ=.

又∵<m<4,∴1<tanθ<4.

(2)设所求的双曲线方程为-=1(a>0,b>0),Q(x₁,y₁),则=(x₁-c，y₁),

∴S_△OFQ=||·|y₁|=2.

∴y₁=±.

又由·=(c,0)·(x₁-c,y₁)=(x₁-c)c=(-1)c²,

∴x₁=c.

∴||=≥.

当且仅当c=4时，||最小，这时Q点坐标为(，)或(，-).

∴∴

故所求的双曲线方程为-=1.

10.(2010江苏南通九校模拟，18)以下四个关于圆锥曲线的命题中

①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k,则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点，若=(+)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线=1与椭圆+y²=1有相同的焦点.

其中真命题的序号为___________(写出所有真命题的序号).

答案：③④

解析：当|k|<|AB|且k≠0时，①才正确；?②中的P点为AB中点，故P为以AC的中点为圆心，|AC|为半径的圆；③④易知正确.

9.有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率e_n=()ⁿ(n∈N),且都以x=1为准线，则所有椭圆的长轴之和为_______________.

答案：2

解析：因=1,=()ⁿ,故a_n=()ⁿ,2a_n=2·()ⁿ,故所有椭圆的长轴之和为=2.

8.平面内有长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是_________.

答案：［2，4］

解析：|PA|+|PB|=6>2，所以点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=3,c=1,∴a-c≤|PA|≤a+c，故应填［2，4］.

7.定长为L(L>)的线段AB的端点在双曲线b²x²-a²y²=a²b²的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为(　　 )

A.　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　 　　　　　　　　　　D.

答案：D

解析：当AB过右焦点时，M的横坐标最小.

6.如右图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为(　　 )

A.　　　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　 D.2

答案：A

解析：因DA=AB·cos30°,DB=AB·sin30°

∴椭圆离心率为-1，双曲线离心率为+1.

故两离心率的倒数和为.

5.椭圆=1上一点P到两焦点距离之积为m，则当m取最大值时，P点是(　　 )

A.(5，0)和(-5，0)　　　　　　　　　　　　 B.(，)和(，-)

C.(，)和(-，)　　　　　　 D.(0，3)和(0，-3)

答案：D

解析：∵|PF₁|·|PF₂|≤()²=()²=25.

当且仅当|PF₁|=|PF₂|时等号成立，即P为短轴顶点.

4.(2010江苏苏州一模，6)设双曲线C：-y²=1的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，若直线l与双曲线C的左、右两支都相交，则直线l的斜率的取值范围是(　　 )

A.k≤-或k≥　　　　　　　　　　　　　 B.k<-或k>

C.-<k<　　　　　　　　　　　　　　　　 D.-≤k≤

答案：C

解析：因渐近线的斜率为±，故-<k<.