集合部分的考点主要是集合之间的关系和集合的交并补运算，重点掌握集合的表示法和用图示法表示集合之间的关系；简易逻辑部分的考点主要是逻辑联结词、四种命题和充要条件，重点掌握充要条件和含有逻辑联结词的复合命题. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

根据考试大纲的要求，结合2008年高考的命题情况，我们可以预测2009年集合与简易逻辑部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现

集合是每年高考的必考内容，主要从两个方面考查:一方面，考查对集合概念的认识和理解，如对集合中涉及的特定字母和符号、元素与集合间的关系，集合与集合间的比较；另一方面，考查对集合的知识应用以及利用集合解决问题的能力．

    简易逻辑主要是考查命题与命题间的逻辑关系以及判断、推理能力，其中对于充要条件的考查方式非常灵活，其试题内容多结合其他章节的内容来命制．

下面结合2008年高考试题，对集合与简易逻辑这部分内容的考点加以透析：

考点一  对集合中有关概念的考查

例1 （2008广东卷文1）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是                   （    ）

A．AB                      B．BC             C．A∩B=C           D．B∪C=A

分析：本例主要考查子集的概念及集合的运算．

解析：易知选D．

点评：本题是典型的送分题，对于子集的概念，一定要从元素的角度进行理解．集合与集合间的关系，寻根溯源还是元素间的关系．

考点二  对集合性质及运算的考查

例2．（2008 湖南卷文1）已知，，，则   (    )

A．    B．     C．    D．

分析：本题主要考查集合的并、交、补的运算以及集合间关系的应用．

解析：由，，，故选B．

点评：对集合的子、交、并、补等运算，常借助于文氏图来分析、理解．高中数学中一般考查数集和点集这两类集合，数集应多结合对应的数轴来理解，点集则多结合对应的几何图形或平面直角坐标系来理解．

考点三  对与不等式有关集合问题的考查

例3．（2008辽宁卷理 1）已知集合，则集合为                                                                      (     )

A．          B．             C．         D．

分析：本题主要考查集合的运算，同时考查解不等式的知识内容．可先对题目中所给的集合化简，即先解集合所对应的不等式，然后再考虑集合的运算．

解析：依题意：，∴，

∴故选C．

点评：同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用．

考点四  对与方程、函数有关的集合问题的考查

例4．（2008陕西卷理2）已知全集，集合，

，则集合中元素的个数为                  （    ）

A．1             B．2              C．3                    D．4

分析：本题集合A表示方程的解所组成的集合，集合B表示在集合A条件下函数的值域，故应先把集合A、B求出来，而后再考虑．

解析：因为集合，所以，所以故选B．

点评：在解决同方程、函数有关的集合问题时，一定要搞清题目中所给的集合是方程的根，或是函数的定义域、值域所组成的集合，也即要看清集合的代表元素，从而恰当简化集合，正确进行集合运算．

考点五  对充分条件与必要条件的考查

例5．(2008福建卷理2)设集合,，那么“mA”是“mB”的                                                                      （    ）

A．充分而不必要条件                 B．必要而不充分条件

C．充要条件                        D．既不充分也不必要条件

分析：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，需首先对命题进行化简，然后再进行判断．

解析：由得,可知“”是“”的充分而不必要条件，故选A．

点评：充分条件和必要条件，几乎是每年高考必考内容，且此考点命题范围广泛，形式灵活多样，因此在解答时要特别细心．此考点的解题关键是要分清条件和结论，然后判断是由条件推结论，还是由结论推条件，从而得出条件和结论的关系．从集合的包含关系来判断条件与结论间的逻辑关系常用有如下结论：设p包含的对象组成集合A，q包含的对象组成集合B，若A(≠B，则p是q的充分不必要条件；若B(≠A，则p是q的必要不充分条件；若，则p是q的充要条件；若A(≠B且B(≠A，则p是q的既不充分也不必要条件.

考点六  对新定义问题的考查

例6．（2008江西卷理2）定义集合运算：设,

,则集合的所有元素之和为                                   （    ）

A．0              B．2              C．3          D．6

分析：本题为新定义问题，可根据题中所定义的的定义，求出集合，而后再进一步求解．

解析：由的定义可得：，故选D．

点评：近年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆．

四 扫雷先锋     

易错点一：集合的概念

【例1】已知集合M=，且，设，则（　　　）

       A．                   B．                   C．                    D．

【分析】三个集合都是整数集的子集，集合M中的整数都能被3整除，集合N中的整数被3整除余数是1，集合P中的整数被3整除余数是2．三个集合中的整数n，在进行的运算时，n只代表整数的意思．考生可能忽视了集合元素的无序性，认为三个集合中的必须是同一个值．

【解析】 ，选B．

【点评】集合中的可以用任何一个字母表示，只要这个字母是整数就可，即等，这就是集合中的元素无序性的体现，这和数列中的项有确切的位置是不同的．

易错点二 集合的运算

【例2】已知向量，，则（      ）

A.        B.        C.       D.

【分析】集合均是坐标形式的向量的集合，两个集合中的并非同一个值．两个集合的代表元素均是有序实数对．

【解析】令得方程组

解得，故．选Ｃ．

【点评】本题的两个集合实际上是以向量的形式给出的两条直线上的点的集合，如集合中，如果我们设，则有（这实际上是直线的参数方程），消掉得，我们所求的是这两条直线的交点坐标．本题易出错的地方是将两个集合中的误认为是同一个值，而那样的是不存在的，从而选Ｄ．

易错点三：逻辑连接词

【例3】已知命题：函数定义域为；命题：若，则函数在上是减函数．则下列结论中错误的是_______．

①．命题“且”为真；②．命题“或非”为假；③．命题“或”为假；④．命题“非且非”为假．

【分析】本题既涉及函数的知识又涉及命题真假的判断．可能出错的地方，一是对函数的性质认识不足，导致对命题的真假判断出错；二是对含有逻辑连接词的命题真假判断的法则掌握不准确，导致解答失误．

【解析】由，得，所以命题为真，所以命题非为假．

又由，易知函数在上是增函数，命题也为假，所以命题非为真．所以命题“且”为假，命题“或非”为真，命题“或”为真，命题“非且非”为假．故答案为①②③．

【点评】解答本题的关键是首先要根据题设条件判断命题与命题的真假，由此作出命题非与非的真假，命题的真假是通过求函数定义域来判断的，而命题的真假是根据反比例函数的增减性来判断的．注意“或为真的充要条件是，至少有一真”，“且为真的充要条件是同时为真”，“和一真一假”这些含有逻辑连接词的命题真假的判断法则．

易错点五：充要条件

【例5】 “”是“函数在区间上为增函数”的(      )

A．充分不必要条件         B．必要不充分条件

C．充要条件               D．既不充分也不必要条件

【分析】一是对函数认识不清，这个函数实际上是分段函数，它在上单调递减，在上单调递增；二是对充要条件缺乏明确的判断方法．

【解析】函数的图象是由的图象左右平移而得到的，函数在上单调递增，只要函数就在区间 上单调递增．由此知“时函数在区间[1, +∞)上为增函数”是真命题，而“函数在区间 上为增函数时”是假命题．故“”是“函数在区间 上为增函数” 充分不必要条件．选A．

【点评】设原命题为“若p则q”．则四种命题的真假和充要条件的关系是：①若原命题为真，则p是q的充分条件；②若逆命题为真，则p是q的必要条件；③若原命题和逆命题都为真，则p是q的充要条件；

④若原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分而不必要条件；⑤若原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要而不充分条件；⑥若原命题和逆命题都为假，则p是q的既不充分也不必要条件．

易错点六：量词

【例6】命题“对任意的，”的否定是

A．不存在， 　B．存在，

C．存在，  　 D．对任意的，

【分析】本题是对全称命题的否定，因此否定时既要对全称量词“任意”否定，又为对判断词“≤”进行否定，全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等，判断词“≤”的否定为“＞”，可能的错误是“顾此失彼”，忽略了细节．

【解析】一个命题的否定其实就是推翻这个命题，要推翻“对任意的，”，我们只要有一个，使就足够了．即存在，．选Ｃ．

【点评】许多同学对全称命题的否定是一个特称命题心存疑惑，实际上我们要肯定一个结论，必须对这个结论所包括的所有对象都适合，我们要否定一个结论只要有一个反例就足够了．同时要注意命题的否定是我们推翻这个命题，故我们之否定它的结论，而否命题是命题之间的一种特定的关系，是对一个命题从形式上做的变化，故对否命题我们必须按照其定义，是既否定它的条件也否定它的结论．注意体会下表

五 规律总结

1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析法的掌握．

2.弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；

3.抓住集合中元素的个性质，对互异性要注意检验；

4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．

5.求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

6.含参数的问题，要有分类讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；

7.集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．

8.逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；

9.通常命题“或”的否定为“且”、“且”的否定为“或”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；

10.有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若，则”的形式；

11.判断充要关系的关键是分清条件和结论；

12.判断“是的什么条件”的本质是判断命题“若，则”及“若，则”的真假；

13.判断充要条件关系的四种方法：

①定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；

          若，则是的充要条件。

②利用原命题和逆否命题的等价性来确定。 等价于

③利用集合的包含关系：对于集合问题，记条件、对应的集合分别为、

若，则是的充分条件，是的必要条件；

若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；

若，则是的充要条件；

若且，则是的既不充分也不必要条件

④利用“”传递性

14. “否命题”与“命题的否定”的区别：

  否命题是对原命题“若则”的条件和结论都否定，即“若则”；

而原命题的否定是：“若则”，即只是否定原命题的结论。

15.探索充要条件：在探索一个结论成立的充要条件时，一般先探索必要条件，再确定充分条件；也可以一些基本的等价关系来探索。

六 能力突破

【例1】已知集合，，若，求实数的值．

【分析】由于空集是任何非空集合的真子集，就有的可能，而对于集合可能是空集心存疑虑，判断不出当时集合B中的方程无解，此时集合B就是空集，本题考生可能在这些问题上考虑不周，导致漏解．

【解析】由已知，易得　，，或或．

若，由，得；若，由，得；

若，由无解，得．或或．

【点评】空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，空集在集合中的作用类似于数零在整数中的作用，正是由于空集的这个特殊性，它隐蔽在数学问题中，很容易被考生忽视，如本题如不把隐蔽的空集找出来参加解题，是很容易漏解的．

【例2】命题甲：成等比数列，命题乙：成等差数列，则甲是乙成立的 （    ）

       　                            A．充分非必要条件　                             B．必要非充分条件　

                      C．充要条件　                       D．既不充分也不必要条件

【分析】本题的两个命题都可以转化为方程，求出其命题成立时的集合，可以通过这两个集合之间的关系判断出甲是乙的什么条件．可能的问题是对指数式和对数式的运算法则不熟练，将这两个方程转化为代数方程时出现错误，特别是对命题乙中的对数方程忽视了真数大于零的限制．

【解析】由成等比数列得，解得，故满足命题甲的的集合是．

由成等差数列得                  ，故满足命题乙的的集合是．

由于满足命题乙的的集合是满足命题甲的的集合的真子集，故甲是乙成立的必要非充分条件．选B．

【点评】设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B．则集合的包含关系和充要条件的对应关系是：①若AB，则p是q的充分条件；②若BA，则p是q的必要条件；③若A=B，则p是q的充要条件；④若AB，则p是q的充分而不必要条件；⑤若BA，则p是q的必要而不充分条件；⑥若，且，则p是q的既不充分也不必要条件．

【例3】已知集合，，若，求实数的取值范围．

【分析】可能误以为集合是一个一元二次方程的解集导致失误，也可能不考虑集合中对的限制从而在整个实数集上解决这个问题．实际上本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围．

【解析】

方法一：由得     ①

∵，∴方程①在区间上至少有一个实数解，

首先，由，解得：或．

设方程①的两个根为、，

（1）当时，由及知、都是负数，不合题意；

（2）当时，由及知、是互为倒数的两个正数，

故、必有一个在区间内，从而知方程①在区间上至少有一个实数解，

综上所述，实数的取值范围为．

解法二：问题等价于方程组在上有解，即在上有解，

令，则由知抛物线过点，∴抛物线在上与轴有交点等价于　  ①　或   ②

由①得，由②得，∴实数的取值范围为．

【点评】在解决以集合为背景的综合解答题时，明确集合的意义是解决问题的先决条件．中学阶段接触到的集合主要是“数集（各种约定的数集、方程的解集、不等式的解集、函数的定义域、值域等）”和“点集（函数图象、直线、曲线、平面区域等）”，高考中往往依此为背景命制综合解答题．本题中的两个集合实际上是“点集”，明确了这点，就可以脱掉“集合”的外衣，实现问题的转化，找到解决问题的途径，不至于掉入“集合”这个陷阱而不能自拔．

七、实战演习

1．设集合P＝{3，4，5}，Q＝{4，5，6，7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为                                                  （    ）

    A．3　　　        B．4              C．7　            D．12

2. I为全集，A、B、C均为I的非空子集，且A∪B=A∪C，则下列等式一定成立的是(    )

A.B=C                         

B.A∩B=A∩C                  

C.(∁_IA)∩(∁_IB)= (∁_IA)∩(∁_IC)        

D.A∩(∁_IB)=A∩(∁_IC)

3．（08年北京文）若集合，，则集合等于                                                                                （    ）

    A．                B．

    C．                   D．

4.设M＝{A的子集}，N＝{B的子集}，若A∩Ｂ＝，那么，M∩N＝(   )

A．　　　   B．        C．M　 D．N

5．已知，集合，若，

则的取值范围为（     ）

A．    B．    C．    D．

6. 3．若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为

   A.1                B.-2                   C.-3                  D. 3

7.已知命题，命题的解集是，下列结论：①命题“”是真命题； ②命题“”是假命题；③命题“”是真命题； ④命题“”是假命题.其中正确的是（     ）

A.②③                   B.①②④               C.①③④                     D.①②③④

8. （08年湖北文） 若集合         （    ）

  A．“”是“”的充分条件但不是必要条件

  B．“”是“”的必要条件但不是充分条件

  C．“”是“”的充要条件

  D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件

9. 3x²－4x－32＜0的一个必要不充分条件是                   （　　）

  A．－＜x＜4     B．－＜x＜1     C．－＜x＜3     D．－＜x＜6

10.(08年广东文) 命题“若函数在其定义域内是减函数，则”的逆否命题是                                                       （    ）

A．若，则函数在其定义域内不是减函数

B．若，则函数在其定义域内不是减函数

C．若，则函数在其定义域内是减函数

D．若，则函数在其定义域内是减函数

11.已知命题“若p，则q”为真，下列命题中一定为真的是   

A．若ᄀp，则ᄀq   B．若ᄀq，则ᄀp   C．若q，则p      D．若ᄀq，则p

12. 已知，，若是的充分而不必要条件，则实数的取值范围为（    ）

A．      B．a=-2        C．           D．

13.（文）已知集合A＝{x∈N|<x<，n∈N^＊}，若card(A)＝2，则n＝            ．

14.若 ，若“”是“”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是

15.（文）设[x]表示不超过x的最大整数，则满足不等式[x]²-3[x]-10≤0的解集是           

16. （08年福建文）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：

①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；

③若有理数集QM,则数集M必为数域;

④数域必为无限集.

其中正确的命题的序号是            .（把你认为正确的命题的序号都填上）

17.设集合，.  

（1）当时，求A的非空真子集的个数；

（2）若B=，求m的取值范围；

（3）若，求m的取值范围.

17.解： A=，集合B可写为.

(1）,即A中含有8个元素，

A的非空真子集数为（个）；

(2)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=；

(3)当B=即m=-2时，.

当B即时

（?）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要，

只要，所以m的值不存在；

（?）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要，

只要.

综合，知m的取值范围是：{m?m=-2或}.

18.若，，为常数，

且,

求对所有实数成立的充要条件（用表示）.

18.解：恒成立

（*）恒成立.

因为,

所以，故只需即可满足（*）恒成立.

综上所述，对所有实数成立的充要条件是：.

19.（本小题满分12分）：已知命题P：方程在[－1，1]上有解;命题Q：。

（1）写出命题的否命题,并求出实数的取值范围，使得命题为真命题；

（2）如果“” 为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围。

19.解：（1）：，,

若为真命题，则 解得：或.

故所求实数的取值范围为：.

（2）若P为真命题，

由“” 为真命题，“”为假命题，故命题P、Q中有且仅有一个真命题.

当P真Q假时，实数的取值范围为：;

当假真时，实数的取值范围为：

综上可知实数的取值范围为R.

20.（本小题满分12分）求同时满足以下两个条件的实数m的取值集合：（1）集合A={x|-5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A；（2）|x|≤1，方程-x+m=0无实数根.

20.解：由（1）A={x|-5x+6=0}={2，3}，A∪B=A，BA，

①m=0时B=，BA；

②m≠0时，由mx+1=0，得x=-，∵BA，

∴-=2或-=3，解得m=-或-.

所以适合（1）的m的集合为{0，-，-}.

（2）将方程变形，整理得：(x-)=-m.

若方程有实数根，则有|x|≤1，

得0≤(x-)≤，即0≤-m≤，由此解得-2≤m≤.

所以方程-x+m=0无实数根时实数m的取值范围为：{m＝｜m＞或m＜-2}.

综上所述：不存在实数m同时满足条件（1）（2）.

21.对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点．

   （1）当a＝2，b＝－2时，求的不动点；

   （2）若对于任何实数b，函数恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；

   （3）在（2）的条件下，若的图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

21.解

   （1）当a＝2，b＝－2时，    .设x为其不动点，即

则    的不动点是－1，2.

   （2）由得：．  由已知，此方程有相异二实根，

恒成立，即即对任意恒成立．

   （3）设，直线是线段AB的垂直平分线，    .记AB的中点由（2）知

化简得：时，等号成立）,

即. 

22．文科前两问，理科三问（本小题满分14分）已知a＞0，函数f(x)=ax－bx²,

（Ⅰ）当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2；

（Ⅱ）当b＞1时，对任意x∈[0，1]，≤1的充要条件是b－1≤a≤；

（Ⅲ）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，≤1的充要条件．

（Ⅰ）证明：∵f(x)=，∴任意x∈R，.

对任意x∈R，都有f(x)≤1，等价于，即.

       ∵a＞0，b＞0，∴a≤2.

       （Ⅱ）证明：必要性

       对任意x∈[0，1]，≤1 Þ －1≤f(x)≤1，据此可以推出－1≤f(1)，

即 a－b≥－1，∴a≥b－1；

       对任意x∈[0，1]，≤1 Þ f(x)≤1，因为b＞1，可以推出≤1，

       即a?－1≤1，∴a≤2；

       ∴b－1≤a≤2。

       充分性

       因为b＞1，a≥b，对任意x∈[0，1]，可以推出

       ax－bx²≥b(x－x²)－x≥－x≥－1，       即 ax－bx²≥－1；

       因为b＞1，a≤2，对任意x∈[0，1]，可以推出

       ax－bx²≤2x－bx²≤1，     即  ax－bx²≤1;

       ∴ －1≤f(x)≤1。

       综上，当b＞1时，对任意x∈[0，1]，≤1的充要条件是b－1≤a≤。

       （Ⅲ）解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1],

       f(x)= ax－bx²≥－b≥1，即f(x)≥－1；

       f(x)≤1 Þ f(1)≤1Þ a－b≤1，即a≤b＋1.

       a≤b＋1Þ f(x)≤(b＋1) x－bx²≤1，即f(x)≤1。

       所以当a＞0，1＜b≤1时，对任意x∈[0，1]，≤1的充要条件是a≤b＋1.