1. 已知集合，集合，则　　 .

3、投掷四枚不同的金属硬币A、B、C、D，假定A、B两枚正面向上的概率均为，另两枚C、D为非均匀硬币，正面向上的概率均为a(0＜a＜1)，把这四枚硬币各投掷一次，设孜表示正面向上的枚数.

(1)若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值；

(2)求孜的分布列及数学期望(用a表示)；

(3)若出现2枚硬币正面向上的概率最大，试求a的取值范围.

解：(Ⅰ)由题意，得………………………………2分

(Ⅱ)着=0，1，2，3，4.

………………………………………………3分

……………………4分

　　 　 ………………………………………………………………5分

…………………………………6分

…………………………………………………………7分

得孜的分布列为：

孜	0	1	2	3	4
p

孜的数学期望为：

……………………8分

(Ⅲ)…………………9分

…………………………………………………10分

≥0 .

≥0 . ………………11分

……………………………………………………12分

2、已知圆的极坐标方程为：．

⑴将极坐标方程化为普通方程；

⑵若点P(x，y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值．

1、变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是．

(Ⅰ)求点在作用下的点的坐标；

(Ⅱ)求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程．

解：(Ⅰ)，所以点在作用下的点的坐标是。(Ⅱ)，设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是/则，也就是，即，所以，所求曲线的方程是。

18、已知函数，点．

　(1)设，求函数的单调区间；

　(2)若函数的导函数满足：当时，有恒成立，求函数

　 的表达式；

　(3)若，函数在和处取得极值，且．问：是否存在常数，使得? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

(1)　 令，　 得：，．

当时，　 所求单调增区间是，，　 单调减区间是(，)

当时，所求单调增区间是，，　 单调减区间是(，)

当时，≥　　 所求单调增区间是．

(2)　　　

当时，恒有　

即得

此时，满足当时≤恒成立．．

(3)存在　使得．

若，即　　

由于，知　　 　　1

由题设，是的两根　　　 ，　　 2

2代入1得：

≥，当且仅当时取“＝”　 ≥

≤　 　　又，　 ， ．

附加题

17、已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程；

(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于点P，且与曲线C相交于A、B两点的直线，且，问：是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由

解：(Ⅰ)设M(x，y)是曲线C上任意一点，那么点M(x，y)满足

化简，得y²=4x(x＞0). ………………………………………………………………………3分

注：(1)未写x＞0的不扣分；

(2)由抛物线的定义直接得方程，只要设出方程y²=2px.说明p=2，也可得3分.

(Ⅱ)设A，B两点的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂).

假设使成立的直线l存在.

①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,

由l与n垂直相交于P点且得

　 ①……………………………………………………………4分

…………………………………………………………5分

　　　　 =1+0+0-1=0，即x₁x₂+ y₁y₂=0. ……………………………………………………6分

将y=kx+m代入方程y²=4x,得k²x²+(2km-4)x+m²=0. ………………………………………7分

∵l与C有两个交点，∴k≠0,

　　 ②

∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+m) (kx₂+m)

=(1+k²)x₁x₂+km (x₁+x₂)+ m²=0.　　　 ③……………………………………………8分

将②代入③得

化简，得m²+4km=0. ……………………………………………………………………9分

　∴m≠0 　①　 ∴m+4k=0　 ④

由①、④得…………………………………………………10分

得存在两条直线l满足条件，其方程为：

②当l垂直于x轴时，则n为x轴，P点坐标为(1，0)，A(1，2)，B(1，-2).

综上，符合题意的直线l有两条：………12分

注：第Ⅱ问设l的方程为x=ly+m，联立y²=4x建立y的一元二次方程更简单，且不需讨论.

16、将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a₁

a₂，a ₃

a ₄，a ₅，a ₆

a₇，a₈，a₉，a₁₀

……

记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．

(Ⅰ)证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．

证明：(Ⅰ)由已知 ，又，所以，

即，所以，　 又．

所以数列是首项为1，公差为的等差数列．由上式可知，即． 所以当时，．

　 (Ⅱ)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．因为，

所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，故在表中第13行第三列，

因此又，所以．　 记表中第行所有项的和为，

则　

15、在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.

　　 (Ⅰ)求角A的大小；

　　 (Ⅱ)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状。

解：(Ⅰ)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,

得2a²=(2b-c)b+(2c-b)c，…………………………………………………… 2分

　　 即bc= b²+ c²- a²，

　　 　 ………………………………………………4分

　　 ∠A=60°. …………………………………………………………………………5分

(Ⅱ)∵A+B+C=180°. 　　　　 　 ∴B+C=180-60=120°.…………………………………………6分

　　 　 　…………………………………………………………7分

　　 　 　　………………………………………8分

　　 　 即sin(B+30°)=1.　 …………………………………………………………10分

　　　　 　 ∴0＜B＜120°，30°＜B+30°＜150°.

　　 　 ∴B+30°=90°, B=60°. ………………………………………………11分

　　 　 ∴A=B=C=60°，△ABC为正三角形. ………………………………………12分

14. 已知为坐标原点，，，，，记、、中的最大值为M，当取遍一切实数时，M的取值范围是　　 　.

13. 函数f(x)是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又f(－1)=－1, 则满足f(x)≤t²+2at+1对所有的x∈[－1,1]及a∈[－1,1]都成立的t的范围是　　 　　　.