∴直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值为                   …………9分

   （III）解：设为平面BCC₁B₁的一个法向量，

∴二面角B―B₁C―A的大小为

16、(北京市东城区2008年高三综合练习二)如图，在四棱锥P―ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为等边三角形.

   （1）求PC与平面ABCD所成角的大小；

   （2）求二面角B―AC―P的大小；

   （3）求点A到平面PCD的距离.

解法二：

   （1）解：同解法一………………5分

   （2）解：建立如图的空间直角坐标系O―xyz，

则A（－1，0，0），B（1，0，0），

则P（0，0，），C（1，2，0）

    设为平面PAC的一个法向量，

    则

    又

  令z=1，得

    得

    又是平面ABC的一个法向量，

    设二面角B―AC―P的大小为，

则

………………10分

   （3）解：设为平面PCD的一个法向量.

    则 由D（－1，2，0），可知），

    可得a=0，令，则c=2.

    得，

    设点A到平面PCD的距离为d，则

     ∴点A到平面PCD的距离为

17、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知如图(1)，正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）.

(Ⅰ) 试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(Ⅱ) 求二面角B-AC-D的大小；                                  图（1）

(Ⅲ) 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值.

解：(Ⅰ) AB∥平面DEF. 在△ABC中，

∵ E、F分别是AC、BC上的点，且满足，

∴ AB∥EF.                                                图（2）

∵ AB平面DEF，EF平面DEF，∴ AB∥平面DEF. …………… 3分    

(Ⅱ)过D点作DG⊥AC于G，连结BG，

∵ AD⊥CD, BD⊥CD,

∴ ∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.

∴ ∠ADB=, 即BD⊥AD.

∴ BD⊥平面ADC. ∴ BD⊥AC.

∴ AC⊥平面BGD. ∴ BG⊥AC .

∴ ∠BGD是二面角B-AC-D的平面角. ……………………………… 5分

在ADC中，AD=a,  DC=, AC=2a,

∴ .

在Rt△BDG中，.

∴ .

即二面角B-AC-D的大小为.………………………………… 8分

 (Ⅲ)∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角.… 9分

∵ ，∴ .

又DC=, ，

∴

  ………………… 11分

∴ .

∴ .  解得 k＝.

18、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)如图，四棱锥中，⊥底面，   ⊥．底面为梯形，，.，点在棱上，且．

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，

∴．

又AB⊥BC，，

∴⊥平面．                 2分

又平面，

∴平面⊥平面．           4分

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，

∴AC为PC在平面ABCD内的射影．

又∵PC⊥AD，

∴AC⊥AD．

在梯形中，由AB⊥BC，AB=BC，得，

∴．

又AC⊥AD，故为等腰直角三角形．

∴．

连接，交于点，则       7分

在中，，

∴

又PD平面EAC，EM平面EAC，

∴PD∥平面EAC．                                               9分

（Ⅲ）在等腰直角中，取中点，连结，则．

∵平面⊥平面，且平面平面=，

∴．

在平面内，过作直线于，连结，由于是在平面内的射影，故．

∴就是二面角A―CE―P的平面角．                          12分

在中，设，则，，，，

由，可知：∽，

∴

代入解得：．

在中，，∴．       13分

即二面角A―CE―P的大小为．                       14分

解法二：

（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．

设，则，，，，.

5分

设，则

，

，

∴，解得：．

．

连结，交于点，

则.7分

在中，，

∴．

又PD平面EAC，EM平面EAC，

∴PD∥平面EAC．                                               9分

（Ⅲ）设为平面的一个法向量，则，

∴

解得：，∴．                        11分

设为平面的一个法向量，则，

又，，∴

解得：，∴．                             12分

．                                     13分

∴二面角A―CE―P的大小为．

19、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，在正四棱锥中，,点在棱上．

(Ⅰ)问点在何处时，，并加以证明；

(Ⅱ)当时,求点到平面的距离；

(Ⅲ)求二面角的大小.

解法一: (Ⅰ)当E为PC中点时，．………2分

连接AC，且，由于四边形ABCD为正方形，

∴O为AC的中点，又E为中点，

∴OE为△ACP的中位线，

∴，又，

∴………………………5分

(Ⅱ) 点到平面的距离等于点到平面

在正△DPC和正△BPC中，由于E为PC中点，

∴PC⊥DE，PC⊥BE ，又，

∴，PE即为所求，

∴点到平面的距离为．………………………9分

(Ⅲ)连接PO，则，

∴，又BO⊥AC，

∴

过点作，垂足为，连接.

由三垂线定理得.

为二面角的平面角.   ………………………12分

在中，，.

又，    故二面角的正弦值为.

故.            ……………………………………14分

解法二:

(Ⅱ)作,依题意是正方形的中心,如图建立空间坐标系.

则, , ，．

∴ ， ，

，

设面的法向量为

  ,   ……………… 7分

点到平面的距离为.  ………………9分

 (Ⅲ)设二面角的平面角为，平面的法向量为.

  设平面的法向量为, .………12分

. 

20、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)如图，在三棱锥中，，

，平面平面.    

（Ⅰ）求证：；                   

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求异面直线和所成角的大小.

解法一：

（Ⅰ）证明：

 平面平面，平面平面，

且，         .    ………….. 2分

平面 ，  .

又

  .                         ………….. 4分

（Ⅱ）解：

作于点，于点，连结.

 平面平面，      ， 

根据三垂线定理得 ，

是二面角的平面角.                                     ………….. 6分

设，        .

，        ，

，                                            ………….. 8分

即二面角的大小是.                                        ………….. 9分

（Ⅲ）解：

在底面内分别过作的平行线，交于点，

连结.

则是异面直线和所成的角或其补角.  ….. 11分

，

， ，

.

易知底面为矩形，从而，

在中，，                                    ………….. 13分

  异面直线和所成角的大小为.                          ………….. 14分

解法二：

作于点，

 平面平面，

平面.

过点作的平行线，交于点.

如图，以为原点，直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系 .    ………….. 2分

.  

.

，

.

     ………….. 4分

（Ⅰ）证明：

      . 

又

  .                                                        ………….. 7分

（Ⅱ）解：

作于点，连结.

平面， 根据三垂线定理得 ，

是二面角的平面角.                                     ………….. 8分

在中， ，

  从而，

，                                         ………….. 10分

即二面角的大小是.                                     ………….. 11分

（Ⅲ）解：

，

，

  异面直线和所成角的大小为.

21、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)如图，在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AA₁=，AB=1，E是DD₁的中点。

     （Ⅰ）求直线B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小；

     （Ⅱ）求证：B₁D⊥AE；

     （Ⅲ）求二面角C―AE―D的大小。

22、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，

AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB

(1)求证：AB平面PCB；

(2)求异面直线AP与BC所成角的大小；

(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。

解法一：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，

PCAB，

CD平面PAB，AB平面PAB，

CD AB。又，

AB 平面PCB

（2）过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF、FC，

则为异面直线PA与BC所成的角。

由（1）可得AB BC，CF AF，

有三垂线定理，得PF AF，则AF=CF=，

PF=。

在Rt中，，

异面直线PA与BC所成的角为 ………………………………………… 8分

（3）取AP的中点E，连结CE、DE

PC=AC=2，CEPA，CE=

CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA，

为二面角C-PA-B的平面角

由（1）AB 平面PCB ，又AB=BC，可得BC=

在Rt中，PB=，CD=

在Rt中，

二面角C-PA-B大小的余弦值为 ……………………………………..13分

解法二：（1）同解法一 ………………………………………………………4分

（2）由（1）AB 平面PCB  ，PC=AC=2，

又AB=BC， 可求得BC=

以B为原点，如图建立空间直角坐标系，

则A（0，，0），B（0，0，0）， C（，0，0）

P（，0，2）

=（，-，2），=（，0，0）

则=+0+0=2

异面直线AP与BC所成的角为………………………………………………8分

（3）设平面PAB的法向量为m=（x，y，z）

=（0，-，0），=（，-，0）

则，即，得m=（，0，-1）

设平面PAC的法向量为n=（x，y，z）

=（0，0，-2），=（，-，0），则，即

得n=（1，1，0）

Cos<m,n>=

二面角C-PA-B大小的余弦值为

23、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点。

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)求直线与平面所成的角的正弦值。

解法一：（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点，

D为AC中点，PD//。

又PD平面D，//平面D   ……………………………………… 4分

（2）正三棱住，

 底面ABC。

又BDAC

BD

就是二面角的平面角。

=，AD=AC=1

tan =

=, 即二面角的大小是 ………………………………… 8分

（3）由（2）作AM，M为垂足。

BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC

BD平面，

AM平面，

BDAM

BD = D

AM平面，连接MP，则就是直线与平面D所成的角。

=，AD=1，在RtD中，=，

，。

直线与平面D所成的角的正弦值为

解法二：

（1）同解法一

（2）如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）

=（-1，，-），=（-1，0，-）

设平面的法向量为n=（x，y，z）

则n

n

则有，得n=（，0，1）

由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量。

设n与所成角为，

则，

二面角的大小是………………………………… 8分

（3）由已知，得=（-1，，），n=（，0，1）

则

直线与平面D所成的角的正弦值为

24、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=，D、E分别为BB₁、AC的中点。

   （Ⅰ）求二面角A₁―AD―C₁的大小；

   （Ⅱ）若，求证：BE//平面AC₁D。

（Ⅰ）以BA所在的直线为x轴、BC所在直线为y轴、BB₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系。∵

    则A（1，0，0），A₁（1，0，3），C₁（0，1，3），

    D（0，0，2）

    ∴ ……2分

    设平面AC₁D的法向量为n=（x，y，z），则由

    ∴平面AC₁D的法向量为n=（2，－1，1）  …………2分

又平面A₁AD的法向量为m=（0，1，0）   …………1分

∵，

又由图形可知，所求二面角为锐角  

∴二面角A₁―AD―C₁的大小为arccos.   …………2分

（Ⅱ）作EF//CC₁交AC₁于点F，连结DF。

∵

又EF//BD， ∴四边形EFDB为平行四边形，∴DF//BE。

而DF平面AC₁D，BE平面AC₁D，

∴BE//平面AC₁D。   …………5分）

[注：也可证]

25、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，

且CD⊥平面PAB。

（1）求证：AB⊥平面PCB

（2）求二面角C－PA－B的大小。

解（1）

（2）解法一：

取AP的中点E，连续CE、DE

（2）解法二：

26、(东北三校2008年高三第一次联考)如图，正三棱柱的所有棱长都为4，D为CC₁中点．

   （Ⅰ）求证：；

   （Ⅱ）求二面角的大小．

解法一：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

为正三角形，．……３分

    连结，在正方形中，分别为 

的中点，

由正方形性质知，

．………５分

又在正方形中，，

平面．……６分

（Ⅱ）设AB₁与A₁B交于点，在平面₁BD中，

作于，连结，由（Ⅰ）得．

为二面角的平面角．………９分

在中，由等面积法可求得，………１０分

又，．

所以二面角的大小为．……１２分

解法二：（Ⅰ）取中点，连结．

取中点，以为原点，

如图建立空间直角坐标系，

则

……3分

 ，．

平面．………６分

（Ⅱ）设平面的法向量为．．

令得为平面的一个法向量．……９分

由（Ⅰ）为平面的法向量．……１０分

．所以二面角的大小为．

27、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)如图，在长方体中，，点在棱上移动．

   （1）求证：；

   （2）为中点时，求点到平面 的距离；

   （3）等于何值时，二面角的大小是．

解：（1）由于 ，，根据三垂线定理，

得．                                               (4分)

　（2）设到平面的距离为．

在中，，，，　　

而，，得．    (8分)

　（3）过作于，连接，则．

为二面角的平面角．设则

在中，，得．

由于,  即，    解得．

　 因此，当时，二面角的大小为．

28、(本小题满分12分) 如图，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1.
（I）求证：A₁C//平面AB₁D；
（II）求二面角B―AB₁―D的大小；
（III）求点C到平面AB₁D的距离.
【解】解法一（I）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

∵ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁ = AB，

∴四边形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中点，

又D是BC的中点，

∴DE∥A₁C. ………………………… 3分

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D. ……………………4分

（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG.

∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，  ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B―AB₁―D的平面角 …………………………6分

设A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB₁―D的大小为 …………………………8分

   （III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD平面AB₁D，∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.

在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，

则CH的长度就是点C到平面AB₁D的距离. ……………………………10分

由△CDH∽△B₁DB，得