等价于:

其图象为:

由图象知: 当a≤1时,|x－4|＋|3－x|＜a无解

当1＜a时,|x－4|＋|3－x|＜a有解

7、(福建省莆田第四中学2009届第二次月考)△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

证明：由三角形中的正弦定理得

，所以，同理，

于是左边＝。

故原不等式获证。

8、(湖北省百所重点中学2009届高三联考)某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自德车的费用是每日115元。

根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。

为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。

   （1）求函数的解析式及其定义域；

   （2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

解：（1）当

                    ………………2分

，                                ………………5分

故          ………………6分

定义域为                        ………………7分

   （2）对于，             

显然当（元），                      ………………9分

∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多。…………12分

9、(湖北省黄冈中学2009届高三10月月考)国际上钻石的重量计量单位为克拉。已知某种钻石的价值V（美元）与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.

（1）写出V关于的函数关系式；

（2）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；

（3）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗时，按重量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大.

（价值损失的百分率＝；切割中重量损耗不计）

解：（1）  （2）37.5％

(3)若把一颗钻石按重量比为m∶n切割，价值损失率为

＝，

当且仅当m＝n时取等号，即重量比为1∶1时，价值损失率最大.

10、(福建省福州三中高三年级第二次月考)已知函数有两个实根为

。

   （1）求函数的解析式；    

   （2）设，解关于的不等式。

解：（1）依题意………………2分

∴……………………4分

解得……………………5分

∴……………………6分

（2）由（1）得

∴

∴………………8分

①当k＞2时，或

②当k＝2时，

∴

③当1＜k＜2时，1＜x＜k或x＞2……………………11分

综上所述，当k＞2时，不等式解集为

当k＝2时，不等式解集为

当不等式解集为………………12分

11、(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知该厂生产这种仪器，次品率p与日产量x（件）之间大体满足关系：P＝.已知每生产一件合格的仪器可盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，厂方希望定出适当的日产量.

（1）试判断：当日产量（件）超过94件时，生产这种仪器能否赢利？并说明理由；

（2）当日产量x件不超过94件时，试将生产这种仪器每天的赢利额T（元）表示成日产量x（件）的函数；

（3）为了获得最大利润，日产量x件应为多少件？

解：（1）当x＞94时，p＝，故每日生产的合格品约为x件，次品约为x件，合格品共可赢利xA元，次品共亏损x?xA元.

因盈亏相抵，故当日产量超过94件时，不能赢利.        4分

（2）当1≤x≤94时，p＝，

每日生产的合格品约为x（1－）件，次品约为件，∴T＝x（1－）A－?＝［x－］A（1≤x≤94）.     8分

（3）由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利.

当1≤x≤94时，.

∵x≤94，96－x＞0，

∴T≤

当且仅当（96－x）＝时，即x＝84时，等号成立.故要获得最大利润，日产量应为84件.    13分

12、(江西省南昌二中2008～2009学年度第一轮第二次段考)设有关于的不等式（Ⅰ）当时，解这个不等式；（Ⅱ）当为何值时，这个不等式的解集为.

解：（1）当时，原不等式可化为

当时，由

当时，由原不等式的解集为

（2）对于任何都成立。

对于任何都成立。  当且仅当时对于任何都成立，当时，的解集为

13、(江西省南昌二中2008～2009学年度第一轮第二次段考)已知，b为正数，求证＋1＞成立的充要条件是对于任何大于1的正数，

恒有＋＞b．

证明:⑴ax＋＝a（x－1）＋＋1＋a≥2＋1＋a＝（＋1）²＞b；

⑵因为ax＋＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1，［ax＋］_min＞b．

而ax＋＝a（x－1）＋＋1＋a≥2＋1＋a＝（＋1）²，

当且仅当a（x－1）＝时，即x＝1＋＞1时等号成立．

14、(广东省深圳中学2008―2009学年度高三第一学段考试)解不等式

解：（1）

即…………………………3分

得…………………………4分

所以原不等式的解集为……………………5分

15、(河北省衡水中学2008―2009学年度第一学期期中考试)建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小.

(1)  求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少？

(2)  如防洪堤的高限制在范围内，外周长最小为多少米？

解： （1）有题意，

         所以

        设外围周长为，则

         当，即时等号成立.

          所以外围的周长的最小值为米，此时堤高米.－－－－－－－－－－－－－－8分

（2）由（1），由导数或定义可证明在单调递增，

    所以的最小值为米（当）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－12分

16、(四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数f(x)＝(x≠0，a＞0，c＜0)，当x∈[1，3]时，函数f(x)的取值范围恰为[－，]

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若向量＝(－，)，＝(k²＋k＋2，3k＋1)(k＞－1，且k≠0)，解关于x的不等式f(x)＜?

解：(1)f(x)＝)
∵a＞0，c＜0，∴f '(x)＝)＞0
∴函数f(x)在[1，3]上是增函数    ……3'
由  Þ  a＝2，c＝－4
∴f(x)＝(x≠0) ……5'
(2)∵?＝－  ……6'
∴f(x)＜?  ó  ＜－
                ó  ＜
                ó  ＜0
                ó  ＜0   ……8'
    ∵k＞－1，且k≠0，∴k＋1＞0
于是－1＜k＜0时，x∈(－∞，2k)∪(0，k＋1)
    0＜k＜1时，x∈(－∞，0)∪(2k，k＋1)
    k＝1时，x∈(－∞，0)
    k＞1时，x∈(－∞，0)∪(k＋1，2k)    ……12'

17、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，

    （1） 要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

    （2） 若|AN| （单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

解：设AN的长为x米（x ＞2）

    ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝

（1）由S_AMPN ＞ 32 得  ＞ 32 ，

    ∵x ＞2，∴，即（3x－8）（x－8）＞ 0

    ∴    即AN长的取值范围是

（2）令y＝，则y′＝

∵当，y′＜ 0，∴函数y＝在上为单调递减函数，

∴当x＝3时y＝取得最大值，即（平方米）

此时|AN|＝3米，|AM|＝米

18、(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（I） 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P＝；

      写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝；

（II）     认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）

本小题主要考查函数图象建立的函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力。满分12分。

     解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为

     由图二可得种植成本与时间的函数关系为

       ，                 

（II）设时刻的纯收益为，则由题意得

   ，

 即              

 当时，配方整理得

     ，

 所以，当＝50时，取得区间上的最大值100；

当 时，配方整理得

    ，

所以，当时，取得区间上的最大值87.5；

综上，由100＞87.5可知，在区间上可以取最大值100，此时， ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。

19、(西南师大附中高2009级第三次月考)已知

（1）若p ＞ 1时，解关于x的不等式；

（2）若对时恒成立，求p的范围．

解：(1) ???????????????????????? 1分

①??????????? 3分

② p ＝ 2时，解集为?????????????? 5分

③ p ＞ 2时，解集为??????????? 7分

(2)

????????????????????? 8分

∴ 恒成立

∴ 恒成立??????????? 9分

∵ 上递减?????????????? 10分

∴ ??????????????????????? 11分

∴ p ＞ 2 ??????????????????????????? 12分

20、(天津市汉沽一中2008~2008学年度第五次月考)已知函数,（ x＞0）．

（I）当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求证：ab＞1；

（II）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

（III）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]

(m≠0),求m的取值范围．

解：（I） ∵x＞0，∴

∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．

由0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，

可得 0＜a1＜b和．

即．

∴2ab＝a＋b＞．……………………………………3分

故，即ab＞1．……………………………………4分

 （II）不存在满足条件的实数a，b．

     若存在满足条件的实数a，b，使得函数y＝的定义域、值域都是

[a，b]，则a＞0．

①   当时，在（0，1）上为减函数．

故     即 

解得  a＝b．

故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………6分

②     当时，在上是增函数．

故     即 

此时a，b是方程的根，此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………8分

③     当，时，

由于，而，

故此时不存在适合条件的实数a，b．

      综上可知，不存在适合条件的实数a，b．………………………………10分

（III）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．

      则a＞0，m＞0．

①       当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故．此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．

②       当或时，由（II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

        故只有．

∵在上是增函数，

     ∴        即 

a，  b是方程的两个根．

即关于x的方程有两个大于1的实根．……………………12分

设这两个根为，．

则＋＝，?＝．

∴       即 

解得   0＜m＜．

    故m的取值范围是0＜m＜．…………………………………………14分

21、(山西省太原五中2008―2009学年度高三上学期10月月考)解关于 的不等式

解：原不等式等价于

综上：  

22、(四川省成都市2008―2009学年度上学期高三年级期末综合测试)已知直线过点M(2,1),且分别与正半轴交于A,B两点.O为原点.

     (1) 当面积最小时,求直线的方程;

     (2) 当值最小时, 求直线的方程.

即这时的面积函数为增函数，不存在最值。因此只考虑与轴正向相交的

情况，此时斜率。

设 则

当且仅当，即时等号成立。

故，即。

（2）

当且仅当，即时等号成立。

或

23、(安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)设二次函数，函数的两个零点为.

 （Ⅰ）若求不等式的解集；

（Ⅱ）若且，比较与的大小．

解：（Ⅰ）由题意知，　　　　　…………………２分

当时，不等式 即为.

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为. ………………………6分

（Ⅱ）

且，

    即．            ………………………………12分

24、(江苏省梁寨中学08－09学年高三年级调研考试)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝）

解：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则

     令  得  

     当  时，  ；当 时，

因此 当时，f（x）取最小值；

答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．

25、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)解关于的不等式：(1) x²－(a＋1)x＋a＜0，(2) ．

解：(1)原不等式可化为：若a＞1时，解为1＜x＜a，若a＞1时，

解为a＜x＜1，若a＝1时，解为

(2)△＝．  

①当，△＞0．

方程有二实数根：

∴原不等式的解集为

①当＝±4 时，△＝0，两根为

若则其根为－1，∴原不等式的解集为．

若则其根为1，∴原不等式的解集为．

②当－4＜时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．

26、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设集合A＝{x|x²＋3k²≥2k(2x－1)}，B＝{x|x²－(2x－1)k＋k²≥0}，且AB，试求k的取值范围．

 解：，比较

因为

(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A＝{x|x≥3k－1或x}.

(2)当k＝1时，x.

(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A＝.

B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式，

(1)当k＝0时，.

(2)当k＞0时，△＜0，x.

(3)当k＜0时，.

故：当时，由B＝R，显然有A，

当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，.

综上所述，k的取值范围是：

27、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)不等式(m²－2m－3)x²－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．

 解： (１)当m²－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时，

①若m＝3，原不等式解集为R

②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0

∴原不等式解集为｛x｜x＜＝，不合题设条件.

(２)若m²－2m－3≠0，依题意有

  即

∴－＜m＜3?

综上，当－＜m≤3时，不等式(m²－2m－3)x²－(m－3)x－1＜0的解集为R.

28、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知二次函数y＝x²＋px＋q，当y＜0时，有－＜x＜，解关于x的不等式qx²＋px＋1＞0．

 解： 由已知得x₁＝－，x₂＝是方程x²＋px＋q＝0的根，

∴－p＝－＋   q＝－×

∴p＝，q＝－，∴不等式qx²＋px＋1＞0

即－x²＋x＋1＞0

∴x²－x－6＜0，∴－2＜x＜3.

即不等式qx²＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.

29、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)若不等式的解集为，求实数p与q的值．

 解：由不等式的解集为，得

2和4是方程的两个实数根，且．(如图)

       解得

30、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设，若，，, 试证明：对于任意，有.

解：∵ ,

∴ ,

∴ .∴ 当时，

当时，

31、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设二次函数，方程的两个根满足.  当时，证明.

证明：由题意可知.

,∴ ,

∴  当时，.

又,

    ∴  ,

综上可知，所给问题获证.

32、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知关于x的二次方程x²＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.

(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x²＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得

∴.

(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组

(这里0＜－m＜1是因为对称轴x＝－m应在区间(0，1)内通过)

得－＜m≤1－

33、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c和一次函数g(x)＝－bx，其中a、b、c满足a＞b＞c,a＋b＋c＝0,(a,b,c∈R).

(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；

(2)求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围.

 (1)证明：由消去y得ax²＋2bx＋c＝0

Δ＝4b²－4ac＝4(－a－c)²－4ac＝4(a²＋ac＋c²)＝4［(a＋c²］

∵a＋b＋c＝0,a＞b＞c,∴a＞0,c＜0

∴c²＞0,∴Δ＞0,即两函数的图象交于不同的两点.

(2)解：设方程ax²＋bx＋c＝0的两根为x₁和x₂,则x₁＋x₂＝－,x₁x₂＝.

|A₁B₁|²＝(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂

∵a＞b＞c,a＋b＋c＝0,a＞0,c＜0

∴a＞－a－c＞c,解得∈(－2,－)

∵的对称轴方程是.

∈(－2,－)时，为减函数

∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈().

34、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知实数t满足关系式 (a＞0且a≠1)

(1)令t＝a^x,求y＝f(x)的表达式；

(2)若x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.

解：(1）由log_a得log_at－3＝log_ty－3log_ta

由t＝a^x知x＝log_at，代入上式得x－3＝,?

∴log_ay＝x²－3x＋3，即y＝a (x≠0).

(2)令u＝x²－3x＋3＝(x－)²＋ (x≠0),则y＝a^u

①若0＜a＜1,要使y＝a^u有最小值8，

则u＝(x－)²＋在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.

②若a＞1,要使y＝a^u有最小值8，则u＝(x－)²＋,x∈(0,2应有最小值

∴当x＝时，u_min＝,y_min＝

由＝8得a＝16.∴所求a＝16,x＝.

35、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如果二次函数y＝mx²＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

解：∵f(0)＝1＞0

(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.

(2）当m＞0时，则解得0＜m≤1

综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

36、二次函数f(x)＝px²＋qx＋r中实数p、q、r满足＝0,其中m＞0,求证：

(1)pf()＜0;

(2)方程f(x)＝0在(0，1)内恒有解.

证明：(1)

,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m＞0,所以，pf()＜0.

(2)由题意，得f(0)＝r,f(1)＝p＋q＋r

①当p＜0时，由(1）知f()＜0

若r＞0,则f(0)＞0,又f()＜0,所以f(x)＝0在(0，)内有解;

若r≤0,则f(1)＝p＋q＋r＝p＋(m＋1)＝(－)＋r＝＞0,

又f()＜0,所以f(x)＝0在(,1)内有解.

②当p＜0时同理可证.

37、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P＝160－2x,生产x件的成本R＝500＋30x元.

(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？

(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？

解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得?

y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x²＋130x－500

由y≥1300知－2x²＋130x－500≥1300

∴x²－65x＋900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45

∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.

(2）由(1）知y＝－2x²＋130x－500＝－2(x－)²＋1612.5

∵x为正整数，∴x＝32或33时，y取得最大值为1612元，

∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.

38、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax²＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；

　　(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；

解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])．

　　所以当－1≤x≤1时，

39、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设二次函数，方程的两个根满足.  且函数的图像关于直线对称，证明：.

解：由题意 .

它的对称轴方程为

由方程的两个根满足, 可得

且,

∴ ，

即  ，   而

故  .

40、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练) 已知二次函数，设方程的两个实数根为和.

（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；

（2）如果，，求的取值范围.

解：设，则的二根为和.

（1）       由及，可得  ，

即   ，

即 

两式相加得，所以，;

（2）由, 可得  .

又，所以同号.

∴ ，等价于或,

即     或

解之得  或.

41、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设,f(0)＞0，f(1)＞0,求证：

(Ⅰ) a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.

证明：（I）因为，

所以.

由条件，消去，得

；

由条件，消去，得

，.

故.

（II）抛物线的顶点坐标为，

在的两边乘以，得.

又因为

而

所以方程在区间与内分别有一实根。

故方程在内有两个实根.

42、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知二次函数 的图象如图所示：

（1）试判断 及 的符号；

（2）若|OA|＝|OB|，试证明 。

解析：解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与 轴交点个数）及函数零点（方程）的有关知识，即

（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与 轴交点个数，立即可得： ， 。

（2）由方程 结论

43、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)m为何值时，关于 的方程 的两根：

（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。

解析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与 轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为 则

1） ；

（2） ；

（3） ；

4） ；

（5）

44、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)证明关于 的不等式 与 ，当 为任意实数时，至少有一个桓成立。

解析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在 轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在 轴上方或下方的充要条件即可。

即由 恒成立 对应抛物线恒在 轴下方

；

由 恒成立 对应抛物线恒在 轴上方

。

因此,当 为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证。

45、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知关于 的方程 两根为 ，试求 的极值。

解析：求 的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题。即 为方程的两根 ，

，又

46、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)若不等式 对一切x恒成立，求实数m的范围.

解析：∵x²－8x＋20＝(x－4)²＋4＞0, ∴ 只须mx²－mx－1＜0恒成立，即可：

①当m＝0时，－1＜0,不等式成立；②当m≠0时，则须

     解之：－4＜m＜0.由（1）、（2）得：－4＜m≤0.

47、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练) 设不等式ax²＋bx＋c＞0的解集是{x|a＜x＜β}(0＜a＜β),求不等式cx²＋bx＋a＜0的解集.

分析：由题∴cx²＋bx＋a＜0的解集是

{x|x＜ 或x＞}．

48、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)＝1，若m、n∈［－1，1］，m＋n≠0时＞0 

(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；

(2)解不等式  f(x＋)＜f()；

(3)若f(x)≤t²－2at＋1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围 

(1)证明  任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈［－1，1］，则f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁)＋f(－x₂)＝?(x₁－x₂)

∵－1≤x₁＜x₂≤1，

∴x₁＋(－x₂)≠0，由已知＞0，又 x₁－x₂＜0，

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数 

(2)解  ∵f(x)在［－1，1］上为增函数，

∴  解得  {x|－≤x＜－1，x∈R}

(3)解  由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)＝1，

故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，

所以要f(x)≤t²－2at＋1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t²－2at＋1≥1成立，

故t²－2at≥0，记g(a)＝t²－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，

只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，

解得，t≤－2或t＝0或t≥2 

∴t的取值范围是  {t|t≤－2或t＝0或t≥2} 

49、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设不等式x²－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围 

解  M［1，4］有两种情况  其一是M＝，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ＝0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围 

设f(x)＝x² －2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)²－(4a＋2)＝4(a²－a－2)

(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝［1，4］

(2)当Δ＝0时，a＝－1或2 

当a＝－1时M＝{－1}［1，4］；当a＝2时，m＝{2}［1，4］ 

(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2 

设方程f(x)＝0的两根x₁，x₂，且x₁＜x₂，

那么M＝［x₁，x₂］，M［1，4］1≤x₁＜x₂≤4

即，解得  2＜a＜，

∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，) 

50、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)解关于x的不等式＞1(a≠1)

解  原不等式可化为  ＞0，

①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解 

由于

∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，＋∞) 

②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解 

由于,

若a＜0，,解集为(，2)；

若a＝0时，，解集为；

若0＜a＜1，,解集为(2，)

综上所述  当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，＋∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a＝0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2） 

51、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设函数f(x)＝a^x满足条件  当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1时，不等式f(3mx－1)＞f(1＋mx－x²)＞f(m＋2)恒成立，求实数m的取值范围 

解  由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1＋mx－x²)＞f(m＋2)，x∈(0，1恒成立 

在x∈(0，1恒成立 

整理，当x∈(0，1)时，恒成立，

即当x∈(0，1时，恒成立，

且x＝1时，恒成立，

∵在x∈(0，1上为减函数，∴＜－1，

∴m＜恒成立m＜0 

又∵，在x∈(0，1上是减函数，∴＜－1 

∴m＞恒成立m＞－1

当x∈(0，1)时，恒成立m∈(－1，0)        ①

当x＝1时，，即是∴m＜0         ②

∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1时，

f(3mx－1)＞f(1＋mx－x²)＞f(m＋2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)

52、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)，求关于不等式的解集。

解集为

53、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)解关于。

①若；

②若；

③若。

54、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知

求证：（1）；（2）。

证明：（1），

        ，

（2）首先易证

55、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件。假若定价上涨，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。

（1）       若时的值；

（2）        ，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围。

解：该商品定价上涨成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是

因而有：

（2）

56、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知函数在R上是增函数，。

（1）       求证：如果；

（2）       判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；

（3）       解不等式。

（1）       证明：当

（2）（1）中命题的逆命题为：   ①

    ①的逆否命题是：         ②

仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题的逆命题成立。

（2）       根据（2），所解不等式等价于

。

57、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)奇函数上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由。

解：易知，

因此，满足条件的实数m存在，它可取内的一切值。

58、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设数列满足

     （Ⅰ） 证明：对一切正整数成立；

（Ⅱ）令判断与的大小，并说明理由.

解析：（Ⅰ）证法一：

①当时，不等式成立，

②假设时，成立

当时，

时，成立

由①②可知，对一切正整数成立.

证法二：由递推公式可得

…

上述各式相加并化简得

又时，成立，故

（Ⅱ）解法一：

故

解法二：

故.因此

59、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设使,，求证：

(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程f(x)＝0在（0，1）内有两个实根.

解析：(Ⅰ)因为,所以

又,消去,得,

由消去,得

所以

(Ⅱ)抛物线的顶点坐标为

又两边乘以得

,又

而

所以方程在区间与内分别有一实根,即方程在有两个实根

60、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知函数,数列{}满足:

证明:（Ⅰ）;(Ⅱ).

解析：（Ⅰ）先用数学归纳法证明

①当时,由以知,结论成立.

②假设当时,结论成立,即.

因为时.所以在上是增函数.

又在上连续,从而

即

故当时,结论成立.

由①②可知对一切正整数都成立.

又因为时,

所以.

综上所述.

(Ⅱ)设函数

由（Ⅰ）知当时,

从而.

所以在上是增函数,又在上连续,且.

所以当时,成立,所以

即,故

61、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知函数,数列满足:,

(1)证明:数列是单调递减数列.

（2）证明：

解析：本题以函数、数列为载体，考查不等式证明的基本方法，在证明的过程中，要对所证的不等式适当变形、合理放缩.

(1)证明:由题意得

所以数列是单调递减数列

（2）证明：由(1)的证明过程可知，

所以

故

62、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)若关于的不等式的解集是，求不等式的解集

解：由不等式的解集是得

是方程的两个根，故

又所以                  

不等式即

或                       

所以不等式的解集是.      

63、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设都是正实数,求证:

证明：因为都是正实数，

上述各式相加，得：

64、、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设，解关于的不等式   

解：设则原不等式化为

①当时，所以

②当时，所以

③当时，所以

综上所述：

即                                            

⑴当时，由得

（2）当时，由得                

所以，当时，原不等式的解集是

当时，原不等式的解集是                      

65、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)过点作直线交正半轴于两点.

(1)若取到最小值,求直线的方程

(2)若的面积取到最小值,求直线的方程

解：设直线的方程为：则，

（1）

当且仅当且时，即时取等号.

此时，直线的方程是：                

（2）

当且仅当且时，即时取等号.

此时，直线的方程是：.

66、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设函数正实数满足，且

（1）求证：;         （2）求证：

证明：（1）由得

，，得

，所以                      

（2）由得

，得，

所以，又

67、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知函数,数列满足:,

(1)设证明:   （2）证明：

证明：（1）因为,数列满足:,

所以

＝（

所以 ：                                        

（2）由（1）得

所以

即

68、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)（1）设a＞0，b＞0且，试比较a^ab^b与a^bb^a的大小。

（2）已知函数，，试比较与的大小．

解：(1)根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法。

当a＞b＞0时，,则，于是a^ab^b＞a^bb^a

当b＞a＞0时，,则，于是a^ab^b＞a^bb^a

综上所述，对于不相等的正数a,b，都有a^ab^b＞a^bb^a

解(2)作差―＝

当时，得＝。

（2）当时，①当时，得＝。②当时，得

＞。③当时，得

＜。

综上所述：当或时＝。当且时＞。当且时＜。

69、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知实数a,b,c满足条件：，其中m是正数，对于f(x)＝ax²＋bx＋c

(1)如果，证明：

(2)如果，证明：方程f(x)＝0在(0,1)内有解。

解：（1）

所以

（2）由于f(0)＝c,f(1)＝a＋b＋c,当a＞0时, 因为,所以

若c＞0,f(0)＝c＞0,所以方程f(x)＝0在内有解,若c≤0,

所以方程在内有解

当a＜0时,同理可证

故时,方程f(x)＝0在(0,1)内有解

70、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知函数满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有和，其中是大于0的常数.设实数a₀，a，b满足和

(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)证明；

(Ⅲ)证明.

证法一：（I）任取

    和  ②

    可知 ，

    从而 .  假设有①式知

    ∴不存在

    （II）由                        ③

    可知   ④

    由①式，得   ⑤

    由和②式知，   ⑥

    由⑤、⑥代入④式，得

（III）由③式可知

  （用②式）

       （用①式）

证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数以及它们的抽象函数值。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“消元”――把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。“消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。

题设中两个主要条件是关于与的齐次式。而点、是函数图象上的两个点，是连接这两点的弦的斜率。若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元”。

设为不相等的两实数，则由题设条件可得：

和。

令，

则对任意相异实数，有及，即。

由此即得；又对任意有，得函数在R上单调增，所以函数是R上的单调增函数。

如果，则，因为，所以。即不存在，使得。于是，（Ⅰ）的结论成立。

考虑结论（Ⅱ）：

因为，故原不等式为

；

当时，左右两边相等；

当时，，且，则原不等式即为：

，

令，则原不等式化为，即为。

因为，则，所以成立，即（Ⅱ）中结论成立。

再看结论（Ⅲ）：

原不等式即，

即，注意到，则，则原不等式即为

即，令，则原不等式即化为

，即，因为，则，所以

成立，即（Ⅲ）的结论成立。

在一般的“消元”方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。尤其是（Ⅱ）与（Ⅲ），许多尖子学生证明了（Ⅱ）的结论而不能解决（Ⅲ）。

借助斜率k“整体消元”的想法把（Ⅱ）、（Ⅲ）中的不等关系都转化为相同的不等关系，然后由条件推证，有独到之处。

71、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)己知，

（1）

（2），证明：对任意，的充要条件是；

（3）讨论：对任意，的充要条件。

证明：（1）依题意，对任意，都有

（2）充分性：

必要性：对任意

（3）

即

 而当

72、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。

由题意得

73、（温州十校2008学年度第一学期期中考试高三数学试题）上海某玩具厂生产套2008年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为元，且，而每套售出的价格为元，其中 ，

   （1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？

   （2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求的值．（利润 ＝ 销售收入 ― 成本）

[解]（1）每套“福娃”所需成本费用为

     _{…………………………4分}

                    _{…………………………5分}

当，  即x＝100时，每套“福娃”所需成本费用最少为25元. ……7分

（2）利润为

＝（_{……－－－11分}

_{由题意，                      ……………………14分}

_{解得      a＝ 25，   b＝ 30.                       ……………………15分}

74、(安徽省六安中学2009届高三第六次月考)已知函数f(x)＝,g(x)＝x²－3ax＋2a²(a＜0)，若不存在实数x使得f(x)＞1和g(x)＜0同时成立，试求a的范围.

解:由f(x)＞1，得＞1,化简整理得＜0.

解得－2＜x＜－1或2＜x＜3.

即f(x)＞1的解集为A＝{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}.

由g(x)＜0得x²－3ax＋2a²＜0,即(x－a)(x－2a)＜0(a＜0).

则g(x)＜0的解集为B＝{x|2a＜x＜a,a＜0}.

根据题意，有A∩B＝.因此，a≤－2或－1≤2a＜0.

故a的范围是{a|a≤－2或－≤a＜0}.

75、(江苏省南通通州市高三年级第二次统一测试)证明不等式：

证明：

＜                                            6′

=2－

＜2                                                              10′