1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

   （Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）易知

设P（x，y），则

，

，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；

当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k

直线l的方程为

由方程组

依题意

当时，设交点C，CD的中点为R，

则

又|F₂C|=|F₂D|

∴20k²=20k²－4，而20k²=20k²－4不成立，   所以不存在直线，使得|F₂C|=|F₂D|

综上所述，不存在直线l，使得|F₂C|=|F₂D|

2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由

（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y²=4x.

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

，

，

∠CAB为钝角.

.  

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:

.

解法二： 以AB为直径的圆的方程为:

.

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，

B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

.

.

A，B，C三点共 线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：

3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：ㄓABC的垂心H也在该双曲线上；

（2）若正三角形ABC的一个顶点为C(?1,?1)，另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上，求顶点A、B的坐标。

解：（1）略；（2）A(2+,2－), B(2－,2+)或A(2－,2+), B(2+,2－)

4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0, )，抛物线C：(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．

解：（Ⅰ）由题意可得直线l：     ①

过原点垂直于l的直线方程为     ②

解①②得．

∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．

∴，

∴抛物线C的方程为．

（Ⅱ）设，，，

由，得．

又，．

解得      ③

直线ON：，即      ④

由③、④及得，

点N的轨迹方程为．

5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB过轴上一点，斜率为，两端点A，B到轴距离之差为，

（1）求以O为顶点，轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；

（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点；

解：（1）设抛物线方程为，AB的方程为，

联立消整理，得；∴，

又依题有，∴，∴抛物线方程为；

（2）设，，，∵，

∴的方程为；

∵过，∴，同理

∴为方程的两个根；∴；

又，∴的方程为

∴，显然直线过点

6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.

   （I）求点G的轨迹C的方程；

   （II）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.

解：（1）Q为PN的中点且GQ⊥PN

    GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|                       

       ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是 ………5分

   （2）因为，所以四边形OASB为平行四边形

    若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形

    若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由

    矛盾，故l的斜率存在. ………7分

    设l的方程为

       ①

       ②   ……………9分  

    把①、②代入

    ∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.

7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x²的焦点，离心率等于.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ₁，=λ₂，求证λ₁+λ₂为定值.

解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.

∴椭圆C的方程为  …………………………………………………5分

   （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为

易知F点的坐标为（2，0）.

将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得 …………………………………………10分

       …………………………………………………………12分

方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

      ……………………………………7分

     ……………………………………8分

又

8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上 ,且满足，.

（Ⅰ）⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设为轨迹C上两点，且，N(1,0)，求实数，使，且.

解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由得P(0，)，Q().

由得(3，)?(，)＝0,即

又点Q在x轴的正半轴上，故点M的轨迹C的方程是.……6分

（Ⅱ）解法一：由题意可知N为抛物线C:y²＝4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。

当直线AB斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合题意；………7分

当直线AB斜率存在且不为0时，设，代入得

则|AB|,解得           …………………10分

       代入原方程得，由于，所以,

       由，得  .              ……………………13分

解法二：由题设条件得

由（6）、（7）解得或，又，故.

9、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.

（Ⅰ）求椭圆W的方程；

（Ⅱ）求证： ()；

（Ⅲ）求面积的最大值.

解：（Ⅰ）设椭圆W的方程为，由题意可知

解得，，，

所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分

（Ⅱ）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为．

得.

由直线与椭圆W交于、两点，可知

，解得．

设点，的坐标分别为，,

则，，，．

因为，，

所以，.

又因为

，

所以．    ……………………………………………………………10分

解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.

于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,

则点的坐标为，，．

由椭圆的第二定义可得

,

所以，，三点共线，即．…………………………………10分

(Ⅲ)由题意知

     ，

当且仅当时“=”成立，

所以面积的最大值为．

10、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)已知抛物线，点P（1，－1）在抛物线C上，过点P作斜率为k₁、k₂的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且满足k₁+k₂=0.

   （I）求抛物线C的焦点坐标；

   （II）若点M满足，求点M的轨迹方程.

解：（I）将P（1，－1）代入抛物线C的方程得a=－1，

    ∴抛物线C的方程为，即

    焦点坐标为F（0，－）.……………………………………4分

   （II）设直线PA的方程为，

    联立方程消去y得

    则

    由………………7分

    同理直线PB的方程为

    联立方程消去y得

    则

    又…………………………9分

    设点M的坐标为（x，y），由

    又…………………………………………11分

    ∴所求M的轨迹方程为：

11、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知定圆圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.

   （I）求曲线C的方程；

   （II）若点为曲线C上一点，求证：直线与曲线C有且只有一个交点.

解：（I）圆A的圆心为，

设动圆M的圆心

由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，

故|MA|=r₁―r₂，即|MA|+|MB|=4，

所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

设椭圆方程为，由

故曲线C的方程为                                …………6分

   （II）当，

消去    ①

由点为曲线C上一点，

于是方程①可以化简为 解得，

综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为.

12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.

   （1）求双曲线的方程；

   （2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k_PM?k_PN的值.

（1）解：依题意有：

可得双曲线方程为 ………………………………………………6分

   （2）解：设

所以

（Ⅲ）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

    解：(Ⅰ) 设C（x, y）,

∵ , ,

∴ ,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴ .  ∴ .

∴ W:   . …………………………………………… 2分

(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.

     整理，得.         ①………………………… 5分

     因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

     ，解得或.

∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 7分

（Ⅲ）设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),则＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

     由①得.                 ②

     又                ③

     因为，， 所以.……………………… 11分

     所以与共线等价于.

     将②③代入上式，解得.

     所以不存在常数k，使得向量与共线.

14、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．

（I）求线段中点的轨迹的方程；

（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．

解：（I）由题可设，，，其中.

则                                          1分

∵的面积为定值2，

∴.                 2分

，消去，得：．                          4分

由于，∴，所以点的轨迹方程为（x＞0）．

5分

（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．

由消去得：，                    6分

设点、、、的横坐标分别是、、、，

∴由得                           8分

解之得：．

∴.                       9分

由消去得：，

由消去得：，

∴.                                               10分

由于为的三等分点，∴.                 11分

解之得.                                                   12分

经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.

15、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（II）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

（Ⅲ）求的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点．

设椭圆的方程：．

解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）．

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，

∴，， ∴ ．        …………2分

∴又，

因此，，解得并推得．

故椭圆的方程为 ．                            …………4分

（Ⅱ），

圆过点O、，

圆心M在直线上．

设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，

∴

由得解得

所求圆的方程为…………………………8分

（Ⅲ） 由

①若垂直于轴，则，

         ，

         …………………………………………9分

②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为

由    得 

，方程有两个不等的实数根．

设，.

,   ………………………………11分

         =

，所以当直线垂于轴时，取得最大值

当直线与轴重合时，取得最小值

16、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.

（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）解：

依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入， 消去整理得    ………….. 2分

设  则    ………….. 4分

由线段中点的横坐标是，   得，

解得，适合.                                                   ………….. 5分

所以直线的方程为 ，或 .                    ………….. 6分

（Ⅱ）解：

假设在轴上存在点，使为常数.

① 当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知    

所以

                                    ………….. 8分

将代入，整理得

注意到是与无关的常数， 从而有， 此时  .. 11分

② 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，

当时， 亦有                                          ………….. 13分

综上，在轴上存在定点，使为常数.

17、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线和的斜率之积为定值；

（Ⅰ）证明：直线和的斜率之积为定值；

（Ⅱ）求点M的轨迹方程。

解：(I)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋p

18、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)在面积为9的中，，且。现建立以A点为坐标原点，以的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示。

(1)求AB、AC所在的直线方程；

(2)求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；

(3)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求的值。

解：（1）设

则由

为锐角，

，

AC所在的直线方程为y=2x

AB所在的直线方程为y= -2x…………………………………………….4分

（2）设所求双曲线为

设，，，

由可得：

，

即 

由，可得，

又， ，

，

即，代入（1）得，

双曲线方程为…………………………………………………9分

（3）由题设可知，，

设点D为，则

又点D到AB，AC所在直线距离

，，

而=

19、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知椭圆的离心率为，且其焦点F（c，0）(c＞0)到相应准线l的距离为3，过焦点F的直线与椭圆交于A、B两点。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设M为右顶点，则直线AM、BM与准线l分别交于P、Q两点，（P、Q两点不重合），求证：

解：（1）由题意有 解得

        ∴椭圆的标准方程为 ……………………………………5分

（2）①若直线AB与轴垂直，则直线AB的方程是

∵该椭圆的准线方程为,

∴，， ∴，

∴ ∴当直线AB与轴垂直时，命题成立。

②若直线AB与轴不垂直，则设直线AB的斜率为，

∴直线AB的方程为

又设

联立 消y得

∴  ∴

又∵A、M、P三点共线，∴ 同理

∴，

∴

综上所述：

20、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)设双曲线C：的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。

   （Ⅰ）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；

   （Ⅱ）求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；

   （Ⅲ）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。

解：（Ⅰ）由题，得，设

则

由  …………①

又在双曲线上，则   …………②

联立①、②，解得    

由题意，

∴点T的坐标为（2，0）   …………3分

（Ⅱ）设直线A₁P与直线A₂Q的交点M的坐标为（x，y）

由A₁、P、M三点共线，得

   …………③  …………1分

由A₂、Q、M三点共线，得

   …………④  …………1分

联立③、④，解得    …………1分

∵在双曲线上，

∴

∴轨迹E的方程为  …………1分

（Ⅲ）容易验证直线l的斜率不为0。

故可设直线l的方程为  中，得

设

则由根与系数的关系，得  ……⑤

  ……⑥   …………2分

∵ ∴有

将⑤式平方除以⑥式，得

   …………1分

由

  …………1分

∵

又

故

令    ∴，即

∴

而 ，  ∴

∴

21、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)已知中心在原点，左、右顶点A₁、A₂在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A₁PA₂的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。

（1）求双曲线C的标准方程

（2）当直线l的斜率为何值时，。

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。

解（1）设双曲线C的方程为