1.（2003京春文，6）在等差数列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=20，那么a₃等于（    ）

A.4                            B.5                            C.6                            D.7

2.（2002上海春，16）设｛a_n｝（n∈N^*）是等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅＜S₆，S₆＝S₇＞S₈，则下列结论错误的是（    ）

A.d＜0                                                            B.a₇＝0

C.S₉＞S₅                                                                                                                   D.S₆与S₇均为S_n的最大值

3.（2002京皖春，11）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所

有项的和为390，则这个数列有（    ）

A.13项                        B.12项                        C.11项                        D.10项

4.（2001京皖蒙春，12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S_n（万件）近似地满足S_n=（21n－n²－5）（n=1，2，……，12）.

按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（    ）

A.5月、6月                                                   B.6月、7月

C．7月、8月                                                 D.8月、9月

5.（2001全国理，3）设数列{a_n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（    ）

A.1                        B.2                        C.4                        D.6

6.（2001上海春，16）若数列{a_n}前8项的值各异，且a_n+8=a_n对任意n∈N^*都成立，则下列数列中可取遍{a_n}前8项值的数列为（    ）

A.{a_2k+1}                   B.{a_3k+1}                   C.{a_4k+1}                   D.{a_6k+1}

7.（2001天津理，2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²，则{a_n}是（    ）

A.等比数列，但不是等差数列                         B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列                            D.既非等比数列又非等差数列

8.（2000京皖春，13）已知等差数列｛a_n｝满足a₁+a₂+a₃+…＋a₁₀₁＝0，则有（    ）

A.a₁＋a₁₀₁＞0                                                        B.a₂＋a₁₀₀＜0

C.a₃＋a₉₉＝0                                                   D.a₅₁＝51

9.（1998全国文，15）等比数列{a_n}的公比为－，前n项和S_n满足，那么a₁的值为（    ）

A.±                    B.±                 C.±                     D.±

10.（1998全国理，15）在等比数列｛a_n｝中，a₁＞1，且前n项和S_n满足，那么a₁的取值范围是（    ）

A.（1，＋∞）      B.（1，4）      C.（1，2）               D．（1，）

11.（1997上海文，6）设f（n）=1+（n∈N），那么f（n+1）－

f（n）等于（    ）

A.                                               B.

C.                                 D.

12.（1997上海理，6）设f（n）=（n∈N），那么

f（n+1）－f（n）等于（    ）

A.                                   B.   

C.                               D.

13.（1996全国理，10）等比数列｛a_n｝的首项a₁＝－1，前n项和为S_n，若，则S_n等于（    ）

A.                         B.－                     C.2                        D.－2

14.（1994全国理，12）等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（    ）

A.130                       B.170                        C.210                   D.260

15.（1995全国，12）等差数列｛a_n｝，｛b_n｝的前n项和分别为S_n与T_n，若，则等于（    ）

A.1                B.                 C.                      D.

^※16.（1994全国理，15）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个

分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（    ）

A.511个           B.512个                 C.1023个                D.1024个

17.（1994上海，20）某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（    ）

A.当n=6时该命题不成立                         B.当n=6时该命题成立

C.当n=4时该命题不成立                         D.当n=4时该命题成立

^※18.（2003京春理14，文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内.

19.（2003上海春，12）设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为_____.

20.（2002北京，14）等差数列｛a_n｝中，a₁＝2，公差不为零，且a₁，a₃，a₁₁恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于           ．

21.（2002上海，5）在二项式（1＋3x）ⁿ和（2x＋5）ⁿ的展开式中，各项系数之和分别记为a_n、b_n（n是正整数），则=          ．

22.（2001全国，15）设｛a_n｝是公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和，若｛S_n｝是等差数列，则q=_____.

23.（2001上海文，2）设数列｛a_n｝的首项a₁＝－7，且满足a_n＋1＝a_n＋2（n∈N），则a₁＋a₂＋…＋a₁₇＝         .

24.（2001上海，6）设数列｛a_n｝是公比q＞0的等比数列，S_n是它的前n项和，若S_n＝7，则此数列的首项a₁的取值范围是       .

25.（2001上海理，2）设数列｛a_n｝的通项为a_n＝2n－7（n∈N^*），则|a₁|＋|a₂|＋…＋|a₁₅|＝       ．

^※26.（2001上海春，7）计算=_____.

27.（2000上海春，7）若数列｛a_n｝的通项为（n∈N^*），则（a₁+n²a_n）＝    ．

28.（2000全国，15）设｛a_n｝是首项为1的正项数列，且（n+1）a_n＋1²－na_n²+a_n＋1a_n＝0（n＝1，2，3，…），则它的通项公式是a_n＝      ．

29.（2000上海，12）在等差数列｛a_n｝中，若a₁₀＝0，则有等式a₁+a₂+…＋a_n=a₁+a₂+…＋a_19－n（n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛b_n｝中，若b₉＝1，则有等式     成立.

^※30.（2000上海，4）计算=_____.

31.（1999上海，10）在等差数列{a_n}中，满足3a₄=7a₇，且a₁>0，S_n是数列{a_n}前n项的和，若S_n取得最大值，则n=_____.

32.（1998上海文、理，10）在数列｛a_n｝和｛b_n｝中，a₁=2，且对任意自然数n，3a_n+1－a_n=0，b_n是a_n与a_n+1的等差中项，则｛b_n｝的各项和是_____.

33.（1997上海）设0<a<b，则=_____.

^※34.（1997上海）=_____.

35.（1995上海）若［1+（r+1）ⁿ］=1，则r的取值范围是_____.

^※36.（1995上海）（1+）^n－2=_____.

37.（1995上海，12）已知log₃x=，那么x+x²+x³+…+xⁿ+…=_____.

^※38.（1995上海理，11）1992年底世界人口达54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y（亿），那么y与x的函数关系式是_____.

39.（2003京春，21）如图3―1，在边长为l的等边△ABC中，圆O₁为△ABC的内切圆，圆O₂与圆O₁外切，且与AB，BC相切，…，圆O_n+1与圆O_n外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆O_n的面积为a_n（n∈N^*）.

（Ⅰ）证明{a_n}是等比数列；

（Ⅱ）求（a₁+a₂+…+a_n）的值.

^※40.（2003上海春，22）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：

（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？

（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？

（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元）并说明理由.

^※41.（2002上海春，21）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.

（Ⅰ）设a_k（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k；（不必证明）

（Ⅱ）证明a_k＞a_k＋1（k＝1，2，…，n－1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；

（Ⅲ）发展基金与n和b有关，记为P_n（b）．对常数b，当n变化时，求P_n（b）．

42.（2002北京春，21）已知点的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中，x₁＝0，x₂＝a（a＞0），A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n－2A_n－1的中点，……

（Ⅰ）写出x_n与x_n－1、x_n－2之间的关系式（n≥3）；

（Ⅱ）设a_n＝x_n＋1－x_n计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列｛a_n｝的通项公式，并加以证明；

（Ⅲ）（理）求x_n．

^※43.（2002全国文，18）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．

（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇?

（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇?

^※44.（2002全国理，20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

45.（2002全国理，21）设数列｛a_n｝满足a_n＋1＝a_n²－na_n＋1，n＝1，2，3，…，

（Ⅰ）当a₁＝2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一个通项公式；

（Ⅱ）当a₁≥3时，证明对所有的n≥1，有

（?）a_n≥n＋2；

（?）．

46.（2002北京，19）数列｛x_n｝由下列条件确定：x₁＝a＞0，x_n＋1＝（x_n＋），

n∈N^*．

（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x_n≥；

（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x_n≥x_n＋1；

（Ⅲ）（理）若数列｛x_n｝的极限存在，且大于零，求x_n的值.

47.（2002江苏，18）设｛a_n｝为等差数列，｛b_n｝为等比数列，a₁＝b₁＝1，a₂＋a₄＝b₃，b₂b₄＝a₃．分别求出｛a_n｝及｛b_n｝的前10项的和S₁₀及T₁₀．

48.（2002上海，21）已知函数f（x）＝ab^x的图象过点A（4，）和B（5，1）

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）记a_n＝log₂f（n），n是正整数，S_n是数列｛a_n｝的前n项和，解关于n的不等式a_nS_n≤0；

（Ⅲ）（文）对于（Ⅱ）中的a_n与S_n，整数96是否为数列｛a_nS_n｝中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

^※49.（2002北京，20）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n个不同的数v₁，v₂，…，v_n的和＝v₁＋v₂＋v₃＋…＋v_n．计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数.计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.

为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n＝2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：

机

器

号

初

始

时

第一单位时间

第二单位时间

第三单位时间

被读机号

结果

被读机号

结果

被读机号

结果

1

v₁

2

v₁+v₂

v₁+v₂

v₂

1

v₂+v₁

（Ⅰ）当n＝4时，至少需要多少个单位时间可完成计算?

把你设计的方法填入下表

机器号

初始时

第一单位时间

第二单位时间

第三单位时间

被读机号

结果

被读机号

结果

被读机号

结果

1

v₁

2

v₂

3

v₃

4

v₄

（Ⅱ）当n＝128时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算?（结论不要求证明）

50.（2002天津理，22）已知｛a_n｝是由非负整数组成的数列，满足a₁＝0，a₂＝3，

a_n＋1a_n＝（a_n－1＋2）（a_n－2＋2），n＝3，4，5，…．

（Ⅰ）求a₃；

（Ⅱ）证明a_n＝a_n－2＋2，n＝3，4，5，…；

（Ⅲ）求｛a_n｝的通项公式及其前n项和S_n．

51.（2001全国春季北京、安徽，20）在1与2之间插入n个正数a₁，a₂，a₃……，a_n，使这n＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b₁，b₂，b₃，……，b_n，使这

n＋2个数成等差数列.记A_n＝a₁a₂a₃……a_n，B_n＝b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n.

（Ⅰ）求数列｛A_n｝和｛B_n｝的通项；

（Ⅱ）当n≥7时，比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论.

^※52.（2001全国理，21）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元.写出a_n，b_n的表达式；

（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

^※53.（2001上海，22）对任意函数f（x），x∈D，可按图示3―2构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x₀∈D，经数列发生器输出x₁＝f（x₀）；

②若x₁D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂＝f（x₁），并依此规律继续下去．

现定义f（x）=．

（Ⅰ）若输入x₀＝，则由数列发生器产生数列｛x_n｝．请写出数列｛x_n｝的所有项；

（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x₀的值；

（Ⅲ）（理）若输入x₀时，产生的无穷数列｛x_n｝满足：对任意正整数n,均有x_n＜x_n＋1，求x₀的取值范围．

54.（2001上海春，22）已知{a_n}是首项为2，公比为的等比数列,S_n为它的前n项和.

（1）用S_n表示S_n+1；

（2）是否存在自然数c和k，使得>2成立.

55.（2001全国文，17）已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为S_n，S_k=2550.

（1）求a及k的值；

（2）求.

56.（2000京皖春理，24）已知函数f（x）=

其中f₁（x）＝－2（x）²＋1，f₂（x）＝－2x＋2．

（Ⅰ）在图3―3坐标系上画出y=f（x）的图象；

（Ⅱ）设y=f₂（x）（x∈［，1］）的反函数为y=g（x），a₁＝1，a₂＝g（a₁），…，a_n＝g（a_n－1）；求数列｛a_n｝的通项公式，并求a_n；

（Ⅲ）若x₀∈［0，），x₁＝f（x₀），f（x₁）＝x₀，求x₀．

57.（2000京皖春文，22）已知等差数列｛a_n｝的公差和等比数列｛b_n｝的公比相等，且都等于d（d＞0，d≠1）.若a₁=b₁，a₃=3b₃，a₅=5b₅，求a_n，b_n．

58.（2000全国理，20）（Ⅰ）已知数列｛c_n｝，其中c_n＝2ⁿ＋3ⁿ，且数列｛c_n＋1－pc_n｝为等比数列，求常数p；

（Ⅱ）设｛a_n｝、｛b_n｝是公比不相等的两个等比数列，c_n=a_n+b_n，证明数列｛c_n｝不是等比数列.

59.（2000全国文，18）设｛a_n｝为等差数列，S_n为数列｛a_n｝的前n项和，已知S₇＝7，S₁₅＝75，T_n为数列｛｝的前n项和，求T_n．

60.（2000上海，21）在XOY平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，对每个自然数n，点P_n位于函数y=2000（）^x（0＜a＜10）的图象上，且点P_n、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形.

（Ⅰ）求点P_n的纵坐标b_n的表达式；

（Ⅱ）若对每个自然数n，以b_n，b_n＋1，b_n＋2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

（Ⅲ）（理）设B_n＝b₁，b₂…b_n（n∈N）.若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，求数列｛B_n｝的最大项的项数.

（文）设c_n＝lg（b_n）（n∈N）.若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列｛c_n｝前多少项的和最大?试说明理由.

61.（2000上海春，20）已知｛a_n｝是等差数列，a₁＝－393，a₂＋a₃＝－768，｛b_n｝是公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列，b₁＝2，且｛b_n｝的各项和为20.

（Ⅰ）写出｛a_n｝和｛b_n｝的通项公式；

（Ⅱ）试求满足不等式≤－160b₂的正整数m.

62.（2000广东，18）设{a_n}为等比数列，T_n=na₁+（n－1）a₂+…+2a_n－1+a_n，已知T₁=1，T₂=4.

（1）求数列{a_n}的首项和公比；

（2）求数列{T_n}的通项公式.

63.（1999全国理，23）已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），该数列｛x_n｝由f（x_n）=n（n=1，2，…）定义.

（Ⅰ）求x₁、x₂和x_n的表达式；

（Ⅱ）求f（x）的表达式，并写出其定义域；

（Ⅲ）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.

64.（1999全国文，20）数列｛a_n｝的前n项和记为S_n．已知a_n＝5S_n－3（n∈N）．求（a₁＋a₃＋…＋a_2n－1）的值.

65.（1999上海，18）设正数数列{a_n}为一等比数列，且a₂=4，a₄=16，求.

66.（1998全国理，25）已知数列｛b_n｝是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145.

（Ⅰ）求数列｛b_n｝的通项b_n；

（Ⅱ）设数列｛a_n｝的通项a_n=log_a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S_n是数列｛a_n｝的前n项和.试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论.

67.（1998全国文，25）已知数列｛b_n｝是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100.

（Ⅰ）求数列｛b_n｝的通项b_n；

（Ⅱ）设数列｛a_n｝的通项a_n=lg（1+），记S_n是数列｛a_n｝的前n项和，试比较S_n与lgb_n+1的大小，并证明你的结论.

68.（1998上海，22）若A_n和B_n分别表示数列{a_n}和{b_n}前n项的和，对任意正整数n，a_n=－，4B_n－12A_n=13n.

（1）求数列{b_n}的通项公式；

（2）设有抛物线列C₁，C₂，…，C_n，…抛物线C_n（n∈N^*）的对称轴平行于y轴，顶点为（a_n，b_n），且通过点D_n（0，n²+1），求点D_n且与抛物线C_n相切的直线斜率为k_n，求极限.

（3）设集合X={x|x=2a_n，n∈N^*}，Y={y|y=4b_n，n∈N^*}.若等差数列{C_n}的任一项C_n∈X∩Y，C₁是X∩Y中的最大数，且－265<C₁₀<－125.求{C_n}的通项公式.

69.（1997全国理，21）已知数列｛a_n｝｛b_n｝都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1，设c_n=a_n+b_n，S_n为数列｛c_n｝的前n项和，求.

70.（1997全国文，21）设S_n是等差数列｛a_n｝前n项的和，已知S₃与S₄的等比中项为的等差中项为1，求等差数列｛a_n｝的通项a_n.

71.（1997上海理，22）设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式：

3tS_n－（2t+3）S_n－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）

（1）求证：数列{a_n}是等比数列；

（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，b_n=f（）（n=2，3，4，…），求数列{b_n}的通项b_n；

（3）求和：b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1.

72.（1996全国文，21）设等比数列｛a_n｝的前n项和为S_n，若S₃＋S₆＝2S₉，求数列的公比q.

73.（1996上海，24）设A_n为数列｛a_n｝的前n项和，A_n=（a_n－1）（n∈N^*），数列｛b_n｝的通项公式为b_n=4n+3（n∈N）.

（Ⅰ）求数列｛a_n｝的通项公式；

（Ⅱ）若d∈｛a₁，a₂，a₃，…，a_n，…｝∩｛b₁，b₂，b₃，…，b_n，…｝，则称d为数列｛a_n｝与｛b_n｝的公共项，将数列｛a_n｝｛b_n｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列｛d_n｝，证明数列｛d_n｝的通项公式为d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）；

（Ⅲ）设数列｛d_n｝中第n项是数列｛b_n｝中的第r项，B_r为数列｛b_n｝的前r项的和，D_n为数列｛d_n｝的前n项和，T_n=B_r+D_n，求.

74.（1995全国理，25）设｛a_n｝是由正数组成的等比数列，S_n是前n项和.

（Ⅰ）证明：＜lgS_n＋1；

（Ⅱ）是否存在常数C＞0使得=lg（S_n+1－C）成立?并证明你的结论.

75.（1994全国文，25）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于所有的正整数n，都有S_n=.证明：{a_n}是等差数列.

76.（1994全国理，25）设｛a_n｝是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对所有自然数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.

（Ⅰ）写出数列｛a_n｝的前三项；

（Ⅱ）求数列｛a_n｝的通项公式（写出推证过程）；

（Ⅲ）令b_n=（n∈N^*），求（b₁+b₂+…+b_n－n）.

77.（1994上海，26）已知数列｛a_n｝满足条件：a₁=1，a₂=r（r＞0）且｛a_n?a_n+1｝是公比为q（q＞0）的等比数列，设b_n=a_2n－1+a_2n（n=1，2，…）

（Ⅰ）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+2（n∈N^*）成立的q的取值范围；

（Ⅱ）求b_n和，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；

（Ⅲ）设r=2^19．2－1，q=，求数列｛｝的最大项和最小项的值.

●答案解析

1.答案：A

解法一：因为a_n为等差数列，设首项为a₁，公差为d，由已知有5a₁+10d=20，

∴a₁+2d=4，即a₃=4

解法二：在等差数列中a₁+a₅=a₂+a₄=2a₃.

所以由a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=20得5a₃=20，∴a₃=4.

评述：本题考查数列的基本知识，在解析二中，比较灵活地运用了等差数列中项的关系.

2.答案：C

解析：由S₅<S₆得a₁+a₂+a₃+…+a₅<a₁+a₂+…+a₅+a₆，∴a₆>0

又S₆=S₇，∴a₁+a₂+…+a₆=a₁+a₂+…+a₆+a₇，∴a₇=0.

由S₇>S₈，得a₈<0，而C选项S₉>S₅，即a₆+a₇+a₈+a₉>02（a₇+a₈）>0.

由题设a₇=0，a₈<0，显然C选项是错误的.

3.答案：A

解析：设这个数列有n项

∵         ∴

∴n＝13

4.答案：C

解析：n个月累积的需求量为S_n．∴第n个月的需求量为

a_n＝S_n－S_n－1＝（21n－n²－5）－［21（n－1）－（n－1）²－5］

＝（－n²＋15n－9）

a_n＞1．5即满足条件，∴（－n²＋15n－9）＞1.5，6＜n＜9（n＝1，2，3，…，12），

∴n=7或n=8．

5.答案：B

解析：前三项和为12，∴a₁＋a₂＋a₃＝12，∴a₂＝＝4

a₁?a₂?a₃＝48，∵a₂＝4，∴a₁?a₃＝12，a₁＋a₃＝8，

把a₁，a₃作为方程的两根且a₁＜a₃，

∴x²－8x＋12＝0，x₁＝6，x₂＝2，∴a₁＝2，a₃＝6，∴选B.

6.答案：B

解析：∵k∈N^*，∴当k=0，1，2，…7时，利用a_n+8=a_n，

数列{a_3k+1}可以取遍数列{a_n}的前8项.

评述：本题考查了数列的基本知识和考生分析问题、解决问题的能力.

7.答案：B

解法一：a_n=

∴a_n=2n－1（n∈N）

又a_n+1－a_n=2为常数，≠常数

∴{a_n}是等差数列，但不是等比数列.

解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列.

评述：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a_n=S_n－S_n－1的推理能力.但不要忽略a₁，解法一紧扣定义，解法二较为灵活.

8.答案：C

解析：a₁+a₂+a₃+…＋a₁₀₁＝0

即（a₃＋a₉₉）＝0，∴a₃＋a₉₉＝0．

9.答案：D

解析：，

∴a₁²=1－q，∴a₁²=，∴a=±.

10.答案：D

解析：由题意得：且0＜|q|＜1

∴－q=a₁²－1  ∴0＜|a₁²－1|＜1

又∵a₁＞1    ∴1＜a₁＜，故选D.

评述：该题主要考查了无穷等比数列各项和公式的应用，挖掘了公式成立的条件.

11.答案：D

解析：∵f（n）=1+

∴f（n+1）=

∴f（n+1）－f（n）=

12.答案：D

解析：f（n）为n个连续自然数的倒数之和

f（n+1）=

∴f（n+1）－f（n）=.

13.答案：B

解析：

，又a₁=－1，故，故选B.

评述：本题主要考查等比数列前n项和求和公式的灵活运用，较好地考查了基本知识以及思维的灵活性.

14.答案：C

解法一：由题意得方程组

视m为已知数，解得

∴

解法二：设前m项的和为b₁，第m+1到2m项之和为b₂，第2m+1到3m项之和为b₃，则b₁，b₂，b₃也成等差数列.

于是b₁=30，b₂=100－30=70，公差d=70－30=40.

∴b₃=b₂+d=70+40=110

∴前3m项之和S_3m=b₁+b₂+b₃=210.

解法三：取m=1，则a₁=S₁=30，a₂=S₂－S₁=70，从而d=a₂－a₁=40.

于是a₃=a₂+d=70+40=110.∴S₃=a₁+a₂+a₃=210.

评述：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m，题给数列前3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影.

15.答案：C

解法一：应用等差数列中，若m+n=p+q，有a_m+a_n=a_p+a_q这条性质来解.

，

所以

解法二：设数列｛a_n｝的首项为a₁，公差为d，｛b_n｝的首项为b₁，公差为m，则

注意n是极限中的变量有

.

解法三：∵

∴不妨令S_n=2n²，T_n=3n²+n

∴a_n=S_n－S_n－1=2n²－2（n－1）²=4n－2（n=1时成立），b_n=T_n－T_n－1=6n－2（n=1成立）

∴

评述：该题的形式新颖，其考查目的也明确，正确解答，可考查其数学能力，要是在题型的选用上，采用解答题的形式，那将是一道十分理想的中等难度的试题.可是作为选择题，其考查的有效性大打折扣，因为有相当一部分考生，并没有用正确的方法却也得出了正确答案C.

16.答案：B

解析：由题意知细菌繁殖过程中是一个公比为2的等比数列，所以a₁₀＝a₁q⁹=2⁹=512.

评述：该题作为数学应用题，又是选择题，问题的实际背景虽然简单，考查的知识点也集中明确，但也有一定的深刻性.

解决本题，应搞清题意，应求的是a₉的值，而不是求和.

从题型设计的角度，本题的立意、取材和构题都是不错的.

17.答案：C

解析：因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C.

18.答案：140  85

解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140；85.

评述：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动.

19.答案：3

解析：因为f（x）=，∴f（1－x）=

∴f（x）+f（1－x）=.

设S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（－5）

∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=6

∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=3.

评述：本题利用课本中等差数列倒序求和为考生提供了一个思维模式，但发现f（x）+

f（1－x）=有一定难度，需要考生有一定的观察能力、思维能力及解决问题的能力.

20.答案：4

解析：设a₁，a₃，a₁₁组成的等比数列公比为q．

∴a₃＝a₁q＝2q，a₁₁＝a₁q²＝2q²

又 ∵数列｛a_n｝是等差数列∴a₁₁＝a₁＋5（a₃－a₁）

∴2q²＝a₁＋5（2q－a₁）  ∴2q²＝2＋5（2q－2），解得q＝4

21.答案：

解析：由二项式定理，得：a_n＝4ⁿ，b_n＝7ⁿ

∴

22.答案：1

解析：方法一：∵S_n－S_n－1＝a_n，又∵S_n为等差数列，∴a_n为定值．

∴a_n为常数列，q＝＝1

方法二：a_n为等比数列，设a_n＝a₁q^n－1，且S_n为等差数列，

∴2S₂＝S₁＋S₃，2a₁q＋2a₁＝2a₁＋a₁＋a₁q＋a₁q²，q²－q＝0，q＝0（舍）q=1.

23.答案：153

解析：∵a_n＋1－a_n＝2，∴｛a_n｝为等差数列．

∴a_n＝－7（n－1）?2，∴a₁₇＝－7＋16×2＝25

．

24.答案：（0，7）

解析：∵S_n＝7，∴｛a_n｝是一个无穷递缩等比数列，0＜q＜1，

且＝7，∴a₁＝7（1－q），又∵0＜q＜1，∴1＞1－q＞0，

∴0＜7（1－q）＜7，即7＞a₁＞0．

25.答案：153

解析：|a₁|＋|a₂|＋…＋|a₁₅|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝153．

^※26.答案：e²

解析：

27.答案：

解析：．

28.答案：

解析：将（n+1）a_n＋1²－na_n²+a_n＋1a_n＝0化简得（n＋1）a_n＋1＝na_n．当n=1时，2a₂=a₁=1，∴a₂＝，n=2时，3a₃=2a₂=2×＝1，∴a₃＝，…可猜测a_n＝，数学归纳法证明略.

29.答案：b₁b₂…b_n＝b₁b₂…b_17－n（n＜17，n∈N^*）

解析：在等差数列｛a_n｝中，由a₁₀＝0，得

a₁＋a₁₉＝a₂＋a₁₈＝…＝a_n＋a_20－n＝a_n＋1＋a_19－n＝2a₁₀＝0，

所以a₁＋a₂＋…＋a_n＋…＋a₁₉＝0，

即a₁＋a₂＋…＋a_n＝－a₁₉－a₁₈－…－a_n＋1，

又∵a₁＝－a₁₉，a₂＝－a₁₈，…，a_19－n＝－a_n＋1

∴a₁＋a₂＋…＋a_n＝－a₁₉－a₁₈－…－a_n＋1＝a₁＋a₂＋…＋a_19－n．

若a₉＝0，同理可得a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋a₂＋a_17－n．

相应地等比数列｛b_n｝中，则可得：b₁b₂…b_n＝b₁b₂…b_17－n（n＜17，n∈N^*）

^※30.答案：e^－2

解析：.

评述：本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力及代数式的变形能力.

31.答案：9

解法一：设公差为d，由题设有3（a₁+3d）=7（a₁+6d），

解得d=－a₁<0，解不等式a_n>0，

即a₁+（n－1）（－a₁）>0得n<，则n≤9.

当n≤9时，a_n>0，同理可得n≥10时a_n<0.

所以n=9时，S_n取得最大值.

解法二：∵d=－a₁

∴S_n=na₁+

=

∵－<0，∴（n－）²最小时，S_n最大.

又n∈N，∴n=9.

评述：本题考查等差数列的基本知识，解法二的计算量太大.

32.答案：2 

解析：b_n=，3a_n+1=a_n  ∴b_n=2a_n+1，

∴b₁+b₂+…+b_n=2（a₁+a₂+…+a_n）－2a₁

∵｛a_n｝是首项为2，公比为的等比数列

∴（b₁+b₂+…+b_n）=［2（a₁+a₂+…+a_n）－2a₁］=2×－2×2=2.

33.答案：－4

解析：

^※34.答案：e⁴

解析：.

35.答案：－2<r<0

解析：∵1=1，又∵［1+（r+1）ⁿ］=1，

∴ {［1+（r+1）ⁿ］^－}=1－1=0，即（r+1）ⁿ=0.

则－1<r+1<1，因此－2<r<0.

^※36.答案：e

解析：.

37.答案：1

解析：log₃x==－log₃2=log₃，故x=，

于是x+x²+x³+…+xⁿ+…=.

^※38.答案：y=54.8（1+x%）⁸

解析：因为y₁=54.8，y₂=54.8（1+x%），y₃=54.8（1+x%）²

从1992年底到2000年底共经过8年，因此有：y=54.8（1+x%）⁸

39.（Ⅰ）证明：记r_n为圆O_n的半径，则r₁=tan30°=.

=sin30°=，所以r_n=r_n－1（n≥2）

于是a₁=πr₁²=

故{a_n}成等比数列.

（Ⅱ）解：因为a_n=（）^n－1a₁（n∈N^*）

所以（a₁+a₂+…+a_n）=.

评述：本题主要考查数列、数列极限、平面几何、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力与解决问题的能力.

^※40.解：（1）此人在A、B公司第n年的月工资数分别为：

a_n=1500+230×（n－1） （n∈N^*）

b_n=2000（1+5%）^n－1（n∈N^*）

（2）若该人在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（a₁+a₂+…+a₁₀）=304200（元）

若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12（b₁+b₂+…+b₁₀）≈301869（元）

因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司.

（3）问题等价于求C_n=a_n－b_n=1270+230n－2000×1.05^n－1（n∈N^*）的最大值.

当n≥2时，C_n－C_n－1=230－100×1.05^n－2

当C_n－C_n－1>0，即230－100×1.05^n－2>0时，1.05^n－2<2.3，得n<19.1

因此，当2≤n≤19时，C_n－1<C_n；于是当n≥20时，C_n≤C_n－1.

∴C₁₉=a₁₉－b₁₉≈827（元）

即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.

评述：本题主要考查数列等知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.

^※41.（Ⅰ）解：第1位职工的奖金a₁＝，

第2位职工的奖金a₂＝（1－）b，

第3位职工的奖金a₃＝（1－）²b，

……

第k位职工的奖金a_k＝（1－）^k－1b．

（Ⅱ）证明：a_k－a_k＋1＝（1－）^k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则.

（Ⅲ）解：设f_k（b）表示奖金发给第k位职工后所剩余款，则

f₁（b）＝（1－）b，f₂（b）＝（1－）²b，…，f_k（b）＝（1－）^kb，

得P_n（b）＝f_n（b）＝（1－）ⁿb，则．

42.（Ⅰ）解：当n≥3时，x_n＝．

（Ⅱ）解：a₁＝x₂－x₁＝a，a₂＝x₃－x₂＝

由此推测a_n＝（）^n－1a（n∈N^*）.

用数学归纳法证明.

（?）当n＝1时，a₁＝x₂－x₁＝a＝（）⁰a，公式成立．

（?）假设当n＝k时，公式成立，即a_k＝（）^k－1a成立.

那么当n＝k＋1时，

，公式仍成立．

根据（?）与（?）可知，对任意n∈N，公式a_n＝（）^n－1a成立．

（Ⅲ）解：当n≥3时，有x_n＝（x_n－x_n－1）＋（x_n－1－x_n－2）＋…＋（x₂－x₁）＋x₁

＝a_n－1＋a_n－2＋…＋a₁，

由（Ⅱ）知｛a_n｝是公比为的等比数列，∴．

^※43.解：（Ⅰ）设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n＋＋5n＝70，

整理得n²＋13n－140＝0．

解得n＝7，n＝－20（舍去）．

第1次相遇是在开始运动后7分钟．

（Ⅱ）设n分钟后第2次相遇，依题意，

有2n＋＋5n＝3×70．

整理得n²＋13n－6×70＝0．

解得n＝15，n＝－28（舍去）．

第2次相遇是在开始运动后15分钟．

^※44.解：2001年末汽车保有量为b₁万辆，以后各年末汽车保有量依次为b₂万辆，b₃万辆，…，每年新增汽车x万辆，则b₁＝30，b₂＝b₁×0．94＋x．

对于n＞1，有b_n＋1＝b_n×0．94＋x＝b_n－1×0．94²＋（1＋0．94）x，

……

∴b_n＋1＝b₁×0．94ⁿ＋x（1＋0．94＋…＋0．94^n－1）

＝b₁×0．94ⁿ＋．

当≥0，即x≤1．8时，b_n＋1≤b_n≤…≤b₁＝30．

当＜0，即x＞1．8时，

，并且数列｛b_n｝逐项增加，可以任意靠近．

因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b_n≤60（n＝1，2，3，…）

则≤60，即x≤3．6（万辆）．

综上，每年新增汽车不应超过3．6万辆．

45.（Ⅰ）解：由a₁＝2，得a₂＝a₁²－a₁＋1＝3，

由a₂＝3，得a₃＝a₂²－2a₂＋1＝4，

由a₃＝4，得a⁴＝a₃²－3a₃＋1＝5．

由此猜想a_n的一个通项公式：a_n＝n＋1（n≥1）．

（Ⅱ）证明：（?）用数学归纳法证明：

①当n＝1，a₁≥3＝1＋2，不等式成立.

②假设当n＝k时不等式成立，即a_k≥k＋2，那么，

a_k＋1＝a_k（a_k－k）＋1≥（k＋2）（k＋2－k）＋1≥k＋3，

也就是说，当n＝k＋1时a_k＋1≥（k＋1）＋2．

根据①和②，对于所有n≥1，有a_n≥n＋2．

（?）由a_n＋1＝a_n（a_n－n）＋1及（?），对k≥2，有

a_i＝a_k－1（a_k－1－k＋1）＋1≥a_k－1（k－1＋2－k＋1）＋1＝2a_k－1＋1，

……

∴a_k≥2^k－1a₁＋2^k－2＋…＋2＋1＝2^k－1（a₁＋1）－1．

于是，k≥2．

．

46.（Ⅰ）证明：由x₁＝a＞0，及x_n＋1＝（x_n＋），可归纳证明x_n＞0

从而有x_n＋1＝（x_n＋）≥（n∈N），

所以，当n≥2时，x_n≥成立．

（Ⅱ）证法一：当n≥2时，因为x_n≥＞0，x_n＋1＝，

所以x_n＋1－x_n＝≤0，

故当n≥2时，x_n≥x_n＋1成立．

证法二：当n≥2时，因为x_n≥＞0，x_n＋1＝，

所以=1，

故当n≥2时，x_n≥x_n＋1成立．

注：第（Ⅲ）问文科不做理科做

（Ⅲ）解：记，则=A，且A＞0．

由，得，

即A＝（A＋）．

由A＞0，解得A＝，故．

47.解：∵｛a_n｝为等差数列，｛b_n｝为等比数列，

∴a₂＋a₄＝2a₃，b₂b₄＝b₃²．

已知a₂＋a₄＝b₃，b₂b₄＝a₃，

∴b₃＝2a₃，a₃＝b₃²．

得 b₃＝2b₃²．

∵b₃≠0  ∴b₃＝，a₃＝．

由a₁＝1，a₃＝知｛a_n｝的公差为d＝，

∴S₁₀＝10a₁＋．

由b₁＝1，b₃＝知｛b_n｝的公比为q＝或q＝．

当q＝时，，

当q＝时，．

48.解：（Ⅰ）由＝a?b⁴，1＝a?b⁵，得b＝4，a＝，故f（x）＝4^x．

（Ⅱ）由题意a_n＝log₂（?4ⁿ）＝2n－10，

S_n＝（a₁＋a_n）＝n（n－9），a_nS_n＝2n（n－5）（n－9）．

由a_nS_n≤0，得（n－5）（n－9）≤0，即5≤n≤9.

故n＝5，6，7，8，9．

（Ⅲ）a₁S₁＝64，a₂S₂＝84，a₃S₃＝72，a₄S₄＝40．

当5≤n≤9时，a_nS_n≤0．

当n≥10时，a_nS_n≥a₁₀S₁₀＝100．

因此，96不是数列｛a_nS_n｝中的项．

^※49.解：（Ⅰ）当n＝4时，只用2个单位时间即可完成计算．

方法之一如下：

（Ⅱ）当n＝128＝2⁷时，至少需要7个单位时间才能完成计算.

50.（Ⅰ）解：由题设得a₃a₄＝10，且a₃、a₄均为非负整数，所以a₃的可能的值为1，2，5，10．

若a₃＝1，则a₄＝10，a₅＝，与题设矛盾．

若a₃＝5，则a₄＝2，a₅＝，与题设矛盾．

若a₃＝10，则a₄＝1，a₅＝60，a₆＝，与题设矛盾.

所以a₃＝2.

（Ⅱ）用数学归纳法证明：

①当n＝3，a₃＝a₁＋2，等式成立．

②假设当n＝k（k≥3）时等式成立，即a_k＝a_k－2＋2,由题设a_k＋1a_k＝（a_k－1＋2）?（a_k－2＋2），因为a_k＝a_k－2＋2≠0，所以a_k＋1＝a_k－1＋2，

也就是说，当n＝k＋1时，等式a_k＋1＝a_k－1＋2成立．

根据①和②，对于所有n≥3，有a_n+1=a_n－1+2.

（Ⅲ）解：由a_2k－1＝a_{2（k－1）－1}＋2，a₁＝0，及a_2k＝a_2（k－1）＋2，a₂＝3得a_2k－1＝2（k－1），a_2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…．

即a_n＝n＋（－1）ⁿ，n＝1，2，3，….

所以S_n＝

评述：本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力．

51.解：（Ⅰ）设公比为q，公差为d，等比数列1，a₁，a₂，……，a_n，2，等差数列1，b₁，b₂，……，b_n，2

则A₁＝a₁＝1?q  A₂＝1?q?1?q²  A₃＝1?q?1?q²?1?q³

又∵a_n＋2＝1?q^n＋1＝2得q^n＋1＝2

A_n＝q?q²…qⁿ＝q（n＝1，2，3…）

又∵b_n＋2＝1＋（n＋1）d＝2  ∴（n＋1）d＝1

B₁＝b₁＝1＋d  B₂＝b₂＋b₁＝1＋d＋1＋2d  B_n＝1＋d＋…＋1＋nd＝n

（Ⅱ）A_n＞B_n，当n≥7时

证明：当n＝7时，2^3．5＝8?＝A_n  B_n＝×7，∴A_n＞B_n

设当n＝k时，A_n＞B_n，则当n＝k＋1时，             

又∵A_k+1＝?   且A_k＞B_k  ∴A_k＋1＞?k

∴A_k＋1－B_k＋1＞

又∵k＝8，9，10…  ∴A_k＋1－B_k＋1＞0，综上所述，A_n＞B_n成立.

^※52.解：（Ⅰ）第1年投入800万元，第2年投入800×（1－）万元……，第n年投入800×（1－）^n－1万元

所以总投入a_n＝800＋800（1）＋…＋800（1）^n－1＝4000［1－（）ⁿ］

同理，第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，第n年收入400×（1＋）^n－1万元

b_n＝400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）^n－1＝1600×［（）ⁿ－1］

（Ⅱ）∴b_n－a_n＞0，1600［（）ⁿ－1］－4000×［1－（）ⁿ］＞0

化简得，5×（）ⁿ＋2×（）ⁿ－7＞0

设x＝（）ⁿ，5x²－7x＋2＞0

∴x＜，x＞1（舍），即（）ⁿ＜，n≥5

评述：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.

^※53.解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域D＝（－∞?－1）∪（－1，＋∞）

∴数列｛x_n｝只有三项x₁＝，x₂＝，x₃＝－1

（Ⅱ）∵f（x）＝＝x即x²－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2

即x₀＝1或2时，x_n＋1＝＝x_n

故当x₀＝1时，x₀＝1；当x₀＝2时，x_n＝2（n∈N）

（Ⅲ）解不等式x＜，得x＜－1或1＜x＜2，

要使x₁＜x₂，则x₂＜－1或1＜x₁＜2

对于函数f（x）＝

若x₁＜－1，则x₂＝f（x₁）＞4，x₃＝f（x₂）＜x₂

当1＜x₁＜2时，x₂＝f（x）＞x₁且1＜x₂＜2

依次类推可得数列｛x_n｝的所有项均满足x_n＋1＞x_n（n∈N）

综上所述，x₁∈（1，2），由x₁＝f（x₀），得x₀∈（1，2）

54.解：（1）由S_n=4（1－），得S_n+1=4（1－）=S_n+2（n∈N^*）

（2）要使>2，只要.

因为S_k=4（1－）<4.所以S_k－（S_k－2）=2－S_k>0（k∈N^*）

故只要S_k－2<c<S_k（k∈N^*）   ①

因为S_k+1>S_k（k∈N^*），所以S_k－2≥S₁－2=1.

又S_k<4，故要使①成立，c只能取2或3.

当c=2时，因为S₁=2，所以当k=1时，c<S_k不成立，从而①不成立.

因为S₂－2=>c，由S_k<S_k+1（k∈N^*），

得S_k－2<S_k+1－2，所以当k≥2时，S_k－2>c，从而①不成立.

当c=3时，因为S₁=2，S₂=3，所以当k=1，2时，c<S_k不成立，从而①不成立.

因为S₃－2=>c，又S_k－2<S_k+1－2，

所以当k≥3时，S_k－2>c，从而①不成立.

故不存在自然数c，k，使成立.

评述：本题主要考查等比数列、不等式知识，以及探索和讨论存在性问题的能力，是高考试题的热点题型.

55.解：（1）由已知a₁=a，a₂=4，a₃=3a，∴a₃－a₂=a₂－a₁，即4a=8，∴a=2.

∴首项a₁=2，d=2

S_k=k?a₁+d得k?2+d=2550

∴k²+k－2550=0，解得k=50或k=－51（舍去）

∴a=2，k=50.

（2）由S_n=na₁+d，得S_n=n（n+1）

∴

∴

评述：本题考查数列和数列极限等基础知识，以及推理能力和运算能力.

56.解：（Ⅰ）函数图象：

说明：图象过（0，）、（，1）、（1，0）点；在区间［0，］上的图象为上凸的曲线段；在区间［，1］上的图象为直线段.

（Ⅱ）f₂（x）＝－2x＋2，x∈［，1］的反函数为：y=1－，

x∈［0，1］．

由已知条件得：a₁＝1，

a₂＝1－a₁＝1－，

a₃＝1－a₂＝1－＋（）²，

a₄＝1＋（－）¹＋（－）²＋（－）³，

……

∴a_n＝（－）⁰＋（－）¹＋（－）²＋…＋（－）^n－1

即a_n＝［1－（－）ⁿ］，

∴.

（Ⅲ）由已知x₀∈［0，，∴x₁＝f₁（x₀）＝1－2（x₀－）²，

由f₁（x）的值域，得x₁∈［，1］．

∴f₂（x₁）＝2－2［1－2（x₀－）²］＝4（x₀－）²．

由f₂（x₁）＝x₀，整理得4x₀²－5x₀＋1＝0，

解得x₀＝1，x₀＝．

因为x₀∈［0，，所以x₀＝．

评述：本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、运算的能力.